Zadachnik Kuznecova Integraly Zadachi 20-22

Задача 20

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

Задача	Условие	Задача	Условие
20-1	${\frac {x^{2}}{9}}+y^{2}=1,\;z=y,\;z=0\;(y\geq 0)$	20-2	$z=x^{2}+4y^{2},\;z=2$
20-3	${\frac {x^{2}}{9}}+{\frac {y^{2}}{4}}-z^{2}=1,\;z=0,\;z=3$	20-4	${\frac {x^{2}}{9}}+{\frac {y^{2}}{4}}-{\frac {z^{2}}{36}}=-1,\;z=12$
20-5	${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{9}}+{\frac {z^{2}}{4}}=1,\;z=1,\;z=0$	20-6	$x^{2}+y^{2}=9,\;z=y,\;z=0\;(y\geq 0)$
20-7	$z=x^{2}+9y^{2},\;z=3$	20-8	${\frac {x^{2}}{4}}+y^{2}-z^{2}=1,\;z=0,\;z=3$
20-9	${\frac {x^{2}}{9}}+{\frac {y^{2}}{16}}-{\frac {z^{2}}{64}}=-1,\;z=16$	20-10	${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{9}}+{\frac {z^{2}}{16}}=1,\;z=2,\;z=0$
20-11	${\frac {x^{2}}{3}}+{\frac {y^{2}}{4}}=1,\;z=y{\sqrt {3}},\;z=0\;(y\geq 0)$	20-12	$z=2x^{2}+8y^{2},\;z=4$
20-13	${\frac {x^{2}}{81}}+{\frac {y^{2}}{25}}-z^{2}=1,\;z=0,\;z=2$	20-14	${\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {y^{2}}{9}}-{\frac {z^{2}}{36}}=-1,\;z=12$
20-15	${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{9}}+{\frac {z^{2}}{36}}=1,\;z=3,\;z=0$	20-16	${\frac {x^{2}}{3}}+{\frac {y^{2}}{16}}=1,\;z=y{\sqrt {3}},\;z=0\;(y\geq 0)$
20-17	$z=x^{2}+5y^{2},\;z=5$	20-18	${\frac {x^{2}}{9}}+{\frac {y^{2}}{4}}-z^{2}=1,\;z=0,\;z=4$
20-19	${\frac {x^{2}}{9}}+{\frac {y^{2}}{25}}-{\frac {z^{2}}{100}}=-1,\;z=20$	20-20	${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{9}}+{\frac {z^{2}}{64}}=1,\;z=4,\;z=0$
20-21	${\frac {x^{2}}{27}}+{\frac {y^{2}}{25}}=1,\;z={\frac {y}{\sqrt {3}}},\;z=0\;(y\geq 0)$	20-22	$z=4x^{2}+9y^{2},\;z=6$
20-23	$x^{2}+{\frac {y^{2}}{4}}-z^{2}=1,\;z=0,\;z=3$	20-24	${\frac {x^{2}}{25}}+{\frac {y^{2}}{9}}-{\frac {z^{2}}{100}}=-1,\;z=20$
20-25	${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{9}}+{\frac {z^{2}}{100}}=1,\;z=5,\;z=0$	20-26	${\frac {x^{2}}{27}}+y^{2}=1,\;z={\frac {y}{\sqrt {3}}},\;z=0\;(y\geq 0)$
20-27	$z=2x^{2}+18y^{2},\;z=6$	20-28	${\frac {x^{2}}{25}}+{\frac {y^{2}}{9}}-z^{2}=1,\;z=0,\;z=2$
20-29	${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{9}}-{\frac {z^{2}}{64}}=-1,\;z=16$	20-30	${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{9}}+{\frac {z^{2}}{144}}=1,\;z=6,\;z=0$
20-31	${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{9}}+{\frac {z^{2}}{196}}=1,\;z=7,\;z=0$

Задача 21

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. В вариантах 1–16 ось вращения $Ox$, в вариантах 17–31 ось вращения $Oy$.

Задача	Условие	Задача	Условие
21-1	$y=-x^{2}+5x-6,\;y=0$	21-2	$2x-x^{2}-y=0,\;2x^{2}-4x+y=0$
21-3	$y=3\sin {x},\;y=\sin {x},\;0\leq x\leq \pi$	21-4	$y=5\cos {x},\;y=\cos {x},\;x=0,\;x\geq 0$
21-5	$y=\sin ^{2}{x},\;x={\frac {\pi }{2}},\;y=0$	21-6	$x={\sqrt[{3}]{y-2}},\;x=1,\;y=1$
21-7	$y=xe^{x},\;y=0,\;x=1$	21-8	$y=2x-x^{2},\;y=-x+2,\;x=0$
21-9	$y=2x-x^{2},\;y=-x+2$	21-10	$y=e^{1-x},\;y=0,\;x=0,\;x=1$
21-11	$y=x^{2},\;y^{2}-x=0$	21-12	$x^{2}+(y-2)^{2}=1$
21-13	$y=1-x^{2},\;x=0,\;x={\sqrt {y-2}},\;x=1$	21-14	$y=x^{2},\;y=1,\;x=2$
21-15	$y=x^{3},\;y={\sqrt {x}}$	21-16	$y=\sin {\frac {\pi x}{2}},\;y=x^{2}$
21-17	$y=\arccos {\frac {x}{3}},\;y=\arccos {x},\;y=0$	21-18	$y=\arcsin {\frac {x}{5}},\;y=\arcsin {x},\;y={\frac {\pi }{2}}$
21-19	$y=x^{2},\;x=2,\;y=0$	21-20	$y=x^{2}+1,\;y=x,\;x=0,\;y=0$
21-21	$y={\sqrt {x-1}},\;y=0,\;y=1,\;x=0{,}5$	21-22	$y=\ln {x},\;x=2,\;y=0$
21-23	$y=(x-1)^{2},\;y=1$	21-24	$y^{2}=x-2,\;y=0,\;y=x^{3},\;y=1$
21-25	$y=x^{3},\;y=x^{2}$	21-26	$y=\arccos {\frac {x}{5}},\;y=\arccos {\frac {x}{3}},\;y=0$
21-27	$y=\arcsin {x},\;y=\arccos {x},\;y=0$	21-28	$y=x^{2}-2x+1,\;x=2,\;y=0$
21-29	$y=x^{3},\;y=x$	21-30	$y=\arccos {x},\;y=\arcsin {x},\;x=0$
21-31	$y=(x-1)^{2},\;x=0,\;x=2,\;y=0$

В этой категории варианты , раздела "Интегралы" в задачнике Кузнецова Л.А.

Задача 22

Варианты 1-10

Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции (см. рис.). Плотность воды $\rho =1000$ кг/м³, ускорение свободного падения $g$ положить равным 10 м/с².
Указание: Давление на глубине $x$ равно $\rho gx$ .

Задача	Условие
22-1	$a=4{,}5$ м	$b=6{,}6$ м	$h=3{,}0$ м
22-2	$a=4{,}8$ м	$b=7{,}2$ м	$h=3{,}0$ м
22-3	$a=5{,}1$ м	$b=7{,}8$ м	$h=3{,}0$ м
22-4	$a=5{,}4$ м	$b=8{,}4$ м	$h=3{,}0$ м
22-5	$a=5{,}7$ м	$b=9{,}0$ м	$h=4{,}0$ м
22-6	$a=6{,}0$ м	$b=9{,}6$ м	$h=4{,}0$ м
22-7	$a=6{,}3$ м	$b=10{,}2$ м	$h=4{,}0$ м
22-8	$a=6{,}6$ м	$b=10{,}8$ м	$h=4{,}0$ м
22-9	$a=6{,}9$ м	$b=11{,}4$ м	$h=5{,}0$ м
22-10	$a=7{,}2$ м	$b=12{,}0$ м	$h=5{,}0$ м

Варианты 11-20

Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высоту $H$ км. Масса спутника равна $m$ т, радиус Земли $R_{3}=6380$ км. Ускорение свободного падения $g$ у поверхности Земли положить равным 10 м/с².

Задача	Условие
22-11	$m=7{,}0$ т	$H=200$ км
22-12	$m=7{,}0$ т	$H=250$ км
22-13	$m=6{,}0$ т	$H=300$ км
22-14	$m=6{,}0$ т	$H=350$ км
22-15	$m=5{,}0$ т	$H=400$ км
22-16	$m=5{,}0$ т	$H=450$ км
22-17	$m=4{,}0$ т	$H=500$ км
22-18	$m=4{,}0$ т	$H=550$ км
22-19	$m=3{,}0$ т	$H=600$ км
22-20	$m=3{,}0$ т	$H=650$ км

Варианты 21-31

Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на $h$ м (см. рис.).
Указание: Уравнение состояния газа $\rho V=const$, где $\rho$ – давление, $V$ – объем.

Задача	Условие
22-21	$H=0{,}4$ м	$h=0{,}35$ м	$R=0{,}1$ м
22-22	$H=0{,}4$ м	$h=0{,}3$ м	$R=0{,}1$ м
22-23	$H=0{,}4$ м	$h=0{,}2$ м	$R=0{,}1$ м
22-24	$H=0{,}8$ м	$h=0{,}7$ м	$R=0{,}2$ м
22-25	$H=0{,}8$ м	$h=0{,}6$ м	$R=0{,}2$ м
22-26	$H=0{,}8$ м	$h=0{,}4$ м	$R=0{,}2$ м
22-27	$H=1{,}6$ м	$h=1{,}4$ м	$R=0{,}3$ м
22-28	$H=1{,}6$ м	$h=1{,}2$ м	$R=0{,}3$ м
22-29	$H=1{,}6$ м	$h=0{,}8$ м	$R=0{,}3$ м
22-30	$H=2{,}0$ м	$h=1{,}5$ м	$R=0{,}4$ м
22-31	$H=2{,}0$ м	$h=1{,}0$ м	$R=0{,}4$ м