Zadachnik Kuznecova Integraly Zadachi 13-16

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Задачи 13[править]

Найти неопределенные интегралы.

Задача Условие Задача Условие
13-1 \int \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{x\sqrt[4]{x^3}}dx 13-2 \int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt{x}}}{x\sqrt[3]{x^2}}dx
13-3 \int \frac{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt{x}}dx 13-4 \int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt[9]{x^4}}dx
13-5 \int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x^2}}}{x\sqrt[9]{x^8}}dx 13-6 \int \frac{\sqrt[3]{\left(1+\sqrt[3]{x} \right)^2}}{x\sqrt[9]{x^5}}dx
13-7 \int \frac{\sqrt[3]{\left(1+\sqrt[3]{x^2} \right)^2}}{x^2\cdot \sqrt[9]{x}}dx 13-8 \int \frac{\sqrt[3]{\left(1+\sqrt{x} \right)^2}}{x\sqrt[6]{x^5}}dx
13-9 \int \frac{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}}{x^2}dx 13-10 \int \frac{\sqrt{1+x}}{x^2\cdot \sqrt{x}}dx
13-11 \int \frac{\sqrt[4]{\left(1+\sqrt{x}\right)^3}}{x\sqrt[8]{x^7}}dx 13-12 \int \frac{\sqrt[4]{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^3}}{x\sqrt[12]{x^7}}dx
13-13 \int \frac{\sqrt[4]{\left(1+\sqrt[3]{x^2}\right)^3}}{x^2\cdot \sqrt[6]{x}}dx 13-14 \int \frac{\sqrt{1+\sqrt[4]{x^3}}}{x^2\cdot \sqrt[8]{x}}dx
13-15 \int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x^3}}}{x^2}dx 13-16 \int \frac{\sqrt[3]{\left(1+\sqrt[4]{x^3}\right)^2}}{x^2\cdot \sqrt[4]{x}}dx
13-17 \int \frac{\sqrt[5]{\left(1+\sqrt{x}\right)^4}}{x\sqrt[10]{x^9}}dx 13-18 \int \frac{\sqrt[5]{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^4}}{x\sqrt[5]{x^3}}dx
13-19 \int \frac{\sqrt[5]{\left(1+\sqrt[3]{x^2} \right)^4}}{x^2\cdot \sqrt[5]{x}}dx 13-20 \int \frac{\sqrt[5]{\left(1+\sqrt[4]{x^3}\right)^4}}{x^2\cdot \sqrt[20]{x^7}}dx
13-21 \int \frac{\sqrt[5]{\left(1+\sqrt[5]{x^4}\right)^4}}{x^2\cdot \sqrt[25]{x^{11}}}dx 13-22 \int \frac{\sqrt{1+\sqrt[5]{x^4}}}{x^2\cdot \sqrt[5]{x}}dx
13-23 \int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x^4}}}{x^2\cdot \sqrt[15]{x}}dx 13-24 \int \frac{\sqrt[3]{\left(1+\sqrt[5]{x^4}\right)^2}}{x^2\cdot \sqrt[3]{x}}dx
13-25 \int \frac{\sqrt[4]{\left(1+\sqrt[5]{x^4}\right)^3}}{x^2\cdot \sqrt[5]{x^2}}dx 13-26 \int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{x\sqrt[3]{x}}dx
13-27 \int \frac{\sqrt[3]{\left(1+\sqrt[4]{x}\right)^2}}{x\sqrt[12]{x^5}}dx 13-28 \int \frac{\sqrt[4]{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt[12]{x^5}}dx
13-29 \int \frac{\sqrt[4]{1+\sqrt[3]{x^2}}}{x\sqrt[6]{x^5}}dx 13-30 \int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x}}}{x\sqrt[15]{x^4}}dx
13-31 \int \frac{\sqrt[5]{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt[5]{x^2}}dx

Задачи 14[править]

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Задача Условие Задача Условие
14-1  y=(x-2)^3,\; y=4x-8 14-2  y=x\sqrt{9-x^2},\; y=0,\; \left(0\le x\le 3\right)
14-3 y=4-x^2,\; y=x^2-2x 14-4 y=\sin{x}\cdot \cos^{2}{x},\; y=0,\; \left(0\le x\le \frac{\pi}{2}\right)
14-5 y=\sqrt{4-x^2},\; y=0,\; x=0,\; x=1 14-6 y=x^2\sqrt{4-x^2},\; y=0,\; \left(0\le x\le 2\right)
14-7 y=\cos{x}\cdot \sin^{2}{x},\; y=0,\; \left(0\le x\le \frac{\pi}{2}\right) 14-8 y=\sqrt{e^x-1},\; y=0,\; x=\ln{2}
14-9 y=\frac{1}{x\sqrt{1+\ln{x}}},\; y=0,\; x=1,\; x=e^3 14-10 y=\arccos{x},\; y=0,\; x=0
14-11 y=(x+1)^2,\; y^2=x+1 14-12 y=2x-x^2+3,\; y=x^2-4x+3
14-13 y=x\sqrt{36-x^2},\; y=0,\; \left(0\le x\le 6\right) 14-14 x=\arccos{y},\; x=0,\; y=0
14-15 y=\operatorname{arctg}{x},\; y=0,\; x=\sqrt{3} 14-16 y=x^2\sqrt{8-x^2},\; y=0,\; \left(0\le x\le 2\sqrt{2} \right)
14-17 x=\sqrt{e^y-1},\; x=0,\; y=\ln{2} 14-18 y=x\sqrt{4-x^2},\; y=0,\; \left(0\le x\le 2\right)
14-19 y=\frac{x}{1+\sqrt{x}},\; y=0,\; x=1 14-20 y=\frac{1}{1+\cos{x}},\; y=0,\; x=\frac{\pi}{2},\; x=-\frac{\pi}{2}
14-21 x=(y-2)^3,\; x=4y-8 14-22  y=\cos^{5}{x}\cdot \sin{2x},\; y=0,\; \left(0\le x\le \frac{\pi}{2}\right)
14-23 y=\frac{x}{\left(x^2+1\right)^2},\; y=0,\; x=1 14-24 x=4-y^2,\; x=y^2-2y
14-25 x=\frac{1}{y\sqrt{1+\ln{y}}},\; x=0,\; y=1,\; y=e^3 14-26 y=\frac{e^{1 / x}}{x^2},\; y=0,\; x=2,\; x=1
14-27 y=x^2\sqrt{16-x^2},\; y=0,\; \left(0\le x\le 4\right) 14-28 x=\sqrt{4-y^2},\; x=0,\; y=0,\; y=1
14-29 y=(x-1)^2,\; y^2=x-1 14-30  y=x^2\cdot \cos{x},\; y=0,\; \left(0\le x\le \frac{\pi}{2}\right)
14-31 x=4-(y-1)^2,\; x=y^2-4y+3

Задачи 15[править]

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.

Задача Условие Задача Условие
15-1 \begin{cases} x=4\sqrt{2}\cdot \cos^{3}{t},\\ y=2\sqrt{2}\cdot \sin^{3}{t},\end{cases}
x=2\; \left(x\ge 2\right)
15-2 \begin{cases}  x=\sqrt{2}\cdot \cos{t},\\ y=2\sqrt{2}\cdot \sin{t},\end{cases}
y=2\; \left(y\ge 2 \right)
15-3 \begin{cases}  x=4\left(t- \sin{t} \right), \\ y=4\left(1-\cos{t} \right),\end{cases}
y=4\; \left(0<x<8\pi,\; y\ge 4\right)
15-4 \begin{cases} x=16\cos^{3}{t}, \\ y=2\sin^{3}{t}, \end{cases}
x=2\; \left(x\ge 2\right)
15-5 \begin{cases} x=2\cos{t}, \\ y=6\sin{t}, \end{cases}
y=3\; \left(y\ge 3\right)
15-6 \begin{cases}  x=2\left(t-\sin{t} \right), \\  y=2\left(1-\cos{t}\right), \end{cases}
y=3\; \left(0<x<4\pi,\; y\ge 3 \right)
15-7 \begin{cases}  x=16\cos^{3}{t}, \\ y=\sin^{3}{t}, \end{cases}
x=6\sqrt{3}\; \left(x\ge 6\sqrt 3 \right)
15-8 \begin{cases} x=6\cos{t}, \\ y=2\sin{t}, \end{cases}
y=\sqrt{3}\; \left(y\ge \sqrt{3} \right)
15-9 \begin{cases}  x=3\left(t-\sin{t} \right), \\ y=3\left(1-\cos{t}\right), \end{cases}
y=3\; \left(0<x<6\pi,\; y\ge 3\right)
15-10 \begin{cases}  x=8\sqrt{2}\cdot \cos^{3}{t}, \\ y=\sqrt{2}\cdot \sin^{3}{t}, \end{cases}
x=4\; \left(x\ge 4\right)
15-11 \begin{cases}  x=2\sqrt{2}\cdot \cos{t},\\ y=3\sqrt{2}\cdot \sin{t}, \end{cases}
y=3\; \left(y\ge 3\right)
15-12 \begin{cases} x=6\left(t-\sin{t}\right), \\ y=6\left(1-\cos{t} \right), \end{cases}
y=9\; \left(0<x<12\pi,\; y\ge 9 \right)
15-13 \begin{cases} x=32\cos^{3}{t}, \\ y=\sin^{3}{t}, \end{cases}
x=4\; \left(x\ge 4\right)
15-14 \begin{cases} x=3\cos{t}, \\ y=8\sin{t}, \end{cases}
y=4\; \left(y\ge 4\right)
15-15 \begin{cases} x=6\left(t-\sin{t}\right), \\ y=6\left(1-\cos{t}\right), \end{cases}
y=6\; \left(0<x<12\pi,\; y\ge 6\right)
15-16 \begin{cases} x=8\cos^{3}{t}, \\ y=4\sin^{3}{t}, \end{cases}
x=3\sqrt{3}\; \left(x\ge 3\sqrt{3}\right)
15-17 \begin{cases} x=6\cos{t}, \\ y=4\sin{t}, \end{cases}
y=2\sqrt{3}\; \left(y\ge 2\sqrt{3} \right)
15-18 \begin{cases} x=10\left(t-\sin{t} \right), \\ y=10\left(1-\cos{t}\right), \end{cases}
y=15\; \left(0<x<20\pi,\; y\ge 15\right)
15-19 \begin{cases} x=2\sqrt{2}\cdot \cos^{3}{t}, \\ y=\sqrt{2}\cdot \sin^{3}{t}, \end{cases}
x=1\; \left(x\ge 1\right)
15-20 \begin{cases} x=\sqrt{2}\cdot \cos{t}, \\ y=4\sqrt{2}\cdot \sin{t}, \end{cases}
y=4\; \left(y\ge 4\right)
15-21 \begin{cases} x=t-\sin{t}, \\ y=1-\cos{t}, \end{cases}
y=1\; \left(0<x<2\pi,\; y\ge 1\right)
15-22 \begin{cases} x=8\cos^{3}{t}, \\ y=8\sin^{3}{t}, \end{cases}
x=1\; \left(x\ge 1\right)
15-23 \begin{cases} x=9\cos{t}, \\ y=4\sin{t}, \end{cases}
y=2\; \left(y\ge 2\right)
15-24 \begin{cases} x=8\left(t-\sin{t} \right), \\ y=8\left(1-\cos{t} \right), \end{cases}
y=12\; \left(0<x<16\pi,\; y\ge 12\right)
15-25 \begin{cases} x=24\cos^{3}{t}, \\ y=2\sin^{3}{t}, \end{cases}
x=9\sqrt{3}\; \left(x\ge 9\sqrt{3}\right)
15-26 \begin{cases} x=3\cos{t}, \\ y=8\sin{t}, \end{cases}
y=4\sqrt{3}\; \left(y\ge 4\sqrt{3} \right)
15-27 \begin{cases} x=2\left(t-\sin{t}\right), \\ y=2\left(1-\cos{t}\right), \end{cases}
y=2\; \left(0<x<4\pi,\; y\ge 2\right)
15-28 \begin{cases} x=4\sqrt{2}\cdot \cos^{3}{t}, \\ y=\sqrt{2}\cdot \sin^{3}{t}, \end{cases}
x=2\; \left(x\ge 2\right)
15-29 \begin{cases} x=2\sqrt{2}\cdot \cos{t}, \\ y=5\sqrt{2}\cdot \sin{t}, \end{cases}
y=5\; \left(y\ge 5\right)
15-30 \begin{cases} x=4\left(t-\sin{t}\right), \\ y=4\left(1-\cos{t} \right), \end{cases}
y=6\; \left(0<x<8\pi,\ y\ge 6\right)
15-31 \begin{cases} x=32\cos^{3}{t}, \\ y=3\sin^{3}{t}, \end{cases}
x=12\sqrt{3}\; \left(x\ge 12\sqrt{3}\right)

Задачи 16[править]

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

Задача Условие
16-1 r=4\cos{3\phi},\; r=2\; (r\ge 2)
16-2 r=\cos{2\phi}
16-3 r=\sqrt{3}\cos{\phi} ,\; r=\sin{\phi},\; \left(0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}\right)
16-4 r=4\sin{3\phi},\; r=2\; (r\ge 2)
16-5  r=2\cos{\phi},\; r=2\sqrt{3}\sin{\phi},\; \left(0\le \phi \le \frac{\pi}{2}\right)
16-6 r=\sin{3\phi}
16-7 r=6\sin{3\phi},\; r=3 \; (r\ge 3)
16-8 r=\cos{3\phi}
16-9  r=\cos{\phi},\; r=\sqrt{2}\sin{\left(\phi - \frac{\pi}{4}\right)},\; \left(-\frac{\pi}{4} \le \phi \le \frac{\pi}{2}\right)
16-10  r=\sin{\phi},\; r=\sqrt{2}\cos{\left(\phi -\frac{\pi}{4}\right)},\; \left(0\le \phi \le \frac{3\pi}{4} \right)
16-11 r=6\cos{3\phi},\; r=3 \; (r\ge 3)
16-12 r=\frac{1}{2} + \sin{\phi}
16-13 r=\cos{\phi},\; r=\sin{\phi},\; \left(0\le \phi \le \frac{\pi}{2}\right)
16-14  r=\sqrt{2}\cos{\left(\phi - \frac{\pi}{4}\right)},\; r=\sqrt{2}\sin{\left(\phi - \frac{\pi}{4}\right)},\; \left(\frac{\pi}{4} \le \phi \le \frac{3\pi}{4}\right)
16-15 r=\cos{\phi},\; r=2\cos{\phi}
16-16 r=\sin{\phi},\; r=2\sin{\phi}
16-17 r=1+\sqrt{2}\cos{\phi}
16-18 r=\frac{1}{2} + \cos{\phi}
16-19 r=1+\sqrt{2}\sin{\phi}
16-20 r= \frac{5}{2}\sin{\phi},\; r=\frac{3}{2}\sin{\phi}
16-21 r=\frac{3}{2}\cos{\phi},\; r=\frac{5}{2}\cos{\phi}
16-22 r=4\cos{4\phi}
16-23 r=\sin{6\phi}
16-24 r=2\cos{\phi},\; r=3\cos{\phi}
16-25 r=\cos{\phi} + \sin{\phi}
16-26 r=2\sin{4\phi}
16-27 r=2\cos{6\phi}
16-28 r=\cos{\phi} -\sin{\phi}
16-29 r=3\sin{\phi},\; r=5\sin{\phi}
16-30 r=2\sin{\phi},\; r=4\sin{\phi}
16-31 r=6\sin{\phi},\; r=4\sin{\phi}