Zadacha Kuznecov Predely 6-2

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n+3}{2n+1}}\right)^{n+1}$

Решение

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n+3}{2n+1}}\right)^{n+1}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n+1+2}{2n+1}}\right)^{n+1}=$

$=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {2}{2n+1}}\right)^{n+1}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{\left({\frac {2n+1}{2}}\right)}}\right)^{n+1}=$

$=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{\left({\frac {2n+1}{2}}\right)}}\right)^{\left({\frac {2n+1}{2}}\right)\left({\frac {2}{2n+1}}\right)(n+1)}=$

$=\left(\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{\left({\frac {2n+1}{2}}\right)}}\right)^{\frac {2n+1}{2}}\right)^{\lim \limits _{n\to \infty }\left({\frac {2}{2n+1}}\right)(n+1)}=$

={Используем второй замечательный предел}=

$=e^{\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {2(n+1)}{2n+1}}}=e^{\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {2n+2}{2n+1}}}=e^{\lim \limits _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2n+1}}\right)}=$

$=e^{(1+0)}=e$