Zadacha Kuznecov Predely 5-10

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {(3n-1)!+(3n+1)!}{(3n)!(n-1)}}$

Решение

$\lim _{n\to \infty }{\frac {(3n-1)!+(3n+1)!}{(3n)!(n-1)}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {(3n-1)!}{(3n)!(n-1)}}+{\frac {(3n+1)!}{(3n)!(n-1)}}\right)=$

$=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{3n(n-1)}}+{\frac {3n+1}{n-1}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{3n(n-1)}}+\lim _{n\to \infty }{\frac {3n+1}{n-1}}=$

$=0+\lim _{n\to \infty }{\frac {3n+1}{n-1}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{n}}\left(3n+1\right)}{{\frac {1}{n}}\left(n-1\right)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {3+{\frac {1}{n}}}{1-{\frac {1}{n}}}}=$

$={\frac {3+0}{1-0}}=3$