Zadacha Kuznecov Predely 4-19

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n^{3}+8}}\left({\sqrt {n^{3}+2}}-{\sqrt {n^{3}-1}}\right)$

Решение

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n^{3}+8}}\left({\sqrt {n^{3}+2}}-{\sqrt {n^{3}-1}}\right)=$

$=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {n^{3}+8}}\left({\sqrt {n^{3}+2}}-{\sqrt {n^{3}-1}}\right)\left({\sqrt {n^{3}+2}}+{\sqrt {n^{3}-1}}\right)}{{\sqrt {n^{3}+2}}+{\sqrt {n^{3}-1}}}}=$

$=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {n^{3}+8}}\left(n^{3}+2-\left(n^{3}-1\right)\right)}{{\sqrt {n^{3}+2}}+{\sqrt {n^{3}-1}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {3{\sqrt {n^{3}+8}}}{{\sqrt {n^{3}+2}}+{\sqrt {n^{3}-1}}}}=$

$=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{\sqrt {n^{3}}}}3{\sqrt {n^{3}+8}}}{{\frac {1}{\sqrt {n^{3}}}}\left({\sqrt {n^{3}+2}}+{\sqrt {n^{3}-1}}\right)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {3{\sqrt {1+{\frac {8}{n^{3}}}}}}{{\sqrt {1+{\frac {2}{n^{3}}}}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{n^{3}}}}}}}=$

$={\frac {3{\sqrt {1+0}}}{{\sqrt {1+0}}+{\sqrt {1-0}}}}={\frac {3}{2}}$