Zadacha Kuznecov Predely 15-17

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{e^{\sin{2x}}-e^{\sin {x}}}{\operatorname{tg}{x}}</math>

Решение

<math>\lim_{x\to 0} \frac{e^{\sin{2x}}-e^{\sin {x}}}{\operatorname{tg}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{\sin{2x}}-1\right)-\left(e^{\sin {x}}-1\right)}{\operatorname{tg}{x}} = </math>
<math> = \lim_{x\to 0} \frac{e^{\sin{2x}}-1}{\operatorname{tg}{x}} - \lim_{x\to 0} \frac{e^{\sin {x}}-1}{\operatorname{tg}{x}} = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>e^{\sin{2x}}-1 \sim \sin{2x}</math>, при <math>x \to 0(\sin{2x}\to 0)</math>
<math>e^{\sin{x}}-1 \sim \sin{x}</math>, при <math>x \to 0(\sin{x}\to 0)</math>
<math>\operatorname{tg}{x} \sim x</math>, при <math>x \to 0</math>

Получаем:

<math> = \lim_{x\to 0} \frac{\sin{2x}}{x} - \lim_{x\to 0} \frac{\sin {x}}{x} = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\sin{x} \sim x</math>, при <math>x \to 0</math>
<math>\sin{2x} \sim 2x</math>, при <math>x \to 0(2x\to 0)</math>

Получаем:

<math> = \lim_{x\to 0} \frac{2x}{x} - \lim_{x\to 0} \frac{x}{x}= \lim_{x\to 0} 2 - \lim_{x\to 0} 1 = 2-1=1</math>