Zadacha Kuznecov Predely 15-15

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Вычислить предел функции:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{\ln {\left(x+h \right)} + \ln {\left(x-h \right)} - 2\ln {x}}{h^2},\; x>0}

Решение[править]

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{\ln {\left(x+h \right)} + \ln {\left(x-h \right)} - 2\ln {x}}{h^2} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln {\left(\left(x+h \right)\left(x-h \right)\right)} - \ln {x^2}}{h^2} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{h\to 0} \frac{\ln {\frac{x^2-h^2}{x^2}}}{h^2} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln {\left(1-\frac{h^2}{x^2}\right)}}{h^2} = }

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ln {\left(1-\frac{h^2}{x^2}\right)} \sim -\frac{h^2}{x^2}} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h \to 0\left(-\frac{h^2}{x^2} \to 0\right)}

Получаем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{h\to 0} \frac{-\frac{h^2}{x^2}}{h^2} = \lim_{h\to 0} -\frac{1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}}