Zadacha Kuznecov Predely 15-15

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{h\to 0} \frac{\ln {\left(x+h \right)} + \ln {\left(x-h \right)} - 2\ln {x}}{h^2},\; x>0</math>

Решение

<math>\lim_{h\to 0} \frac{\ln {\left(x+h \right)} + \ln {\left(x-h \right)} - 2\ln {x}}{h^2} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln {\left(\left(x+h \right)\left(x-h \right)\right)} - \ln {x^2}}{h^2} = </math>
<math>= \lim_{h\to 0} \frac{\ln {\frac{x^2-h^2}{x^2}}}{h^2} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln {\left(1-\frac{h^2}{x^2}\right)}}{h^2} = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\ln {\left(1-\frac{h^2}{x^2}\right)} \sim -\frac{h^2}{x^2}</math>, при <math>h \to 0\left(-\frac{h^2}{x^2} \to 0\right)</math>

Получаем:

<math>= \lim_{h\to 0} \frac{-\frac{h^2}{x^2}}{h^2} = \lim_{h\to 0} -\frac{1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}</math>