Zadacha Kuznecov Predely 15-14

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Вычислить предел функции:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin {2x}-2\sin {x}}{x\cdot \ln {\cos {5x}}}}

Решение[править]

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin {2x}-2\sin {x}}{x\cdot \ln {\cos {5x}}} = \lim_{x\to 0} \frac{2\sin{x}\cdot \cos{x}-2\sin {x}}{x\cdot \ln {\left(1-2\sin^{2} {\left(\frac{5x}{2}\right)}\right)}} =}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{-2\sin{x}\left(1 - \cos{x}\right)}{x\cdot \ln {\left(1-2\sin^{2} {\left(\frac{5x}{2}\right)}\right)}} =}

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin{x} \sim x} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1-\cos{x} \sim \frac{x^2}{2}} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ln {\left(1-2\sin^{2} {\left(\frac{5x}{2}\right)}\right)} \sim -2\sin^{2} {\left(\frac{5x}{2}\right)}} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0\left(-2\sin^{2} {\left(\frac{5x}{2}\right)}\to 0\right)}

Получаем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{-2x\cdot \frac{x^2}{2}}{x\cdot \left(-2\sin^{2} {\left(\frac{5x}{2}\right)}\right)} =}

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin{\left(\frac{5x}{2}\right)} \sim \frac{5x}{2}} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0\left(\frac{5x}{2}\to 0 \right)}

Получаем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{-x^3}{-2x\cdot \left(\frac{5x}{2}\right)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{2\cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \frac{1}{2\cdot \frac{25}{4}} = \frac{2}{25}}