Zadacha Kuznecov Predely 15-11

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin {x}-\cos {x}}{\ln {\operatorname{tg}{x}}}</math>

Решение

Замена:

<math>x=y+\frac{\pi}{4} \Rightarrow y=x-\frac{\pi}{4}</math>
<math>x\to \frac{\pi}{4} \Rightarrow y \to 0</math>

Получаем:

<math>\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin {x}-\cos {x}}{\ln {\operatorname{tg}{x}}} = \lim_{y\to 0} \frac{\sin {\left(y+\frac{\pi}{4}\right)}-\cos {\left(y+\frac{\pi}{4}\right)}}{\ln {\operatorname{tg}{\left(y+\frac{\pi}{4}\right)}}} = </math>
<math> = \lim_{y\to 0} \frac{\sin{y}\cdot \cos{\frac{\pi}{4}}+\cos{y}\cdot \sin{\frac{\pi}{4}}-\left(\cos{y}\cdot \cos{\frac{\pi}{4}}-\sin{y}\cdot \sin{\frac{\pi}{4}}\right)}{\ln {\left(\frac{\operatorname{tg}{y}+\operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}}}{1-\operatorname{tg}{y}\cdot \operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}}}\right)}} = </math>
<math> = \lim_{y\to 0} \frac{\sin{y}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos{y}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\cos{y}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\sin{y}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{\ln {\left(\frac{\operatorname{tg}{y}+1}{1-\operatorname{tg}{y}}\right)}} = </math>
<math> = \lim_{y\to 0} \frac{\sqrt{2}\sin{y}+\sqrt{2}\cos{y}-\sqrt{2}\cos{y}+\sqrt{2}\sin{y}}{2\ln {\left(\frac{1-\operatorname{tg}{y}+2\operatorname{tg}{y}}{1-\operatorname{tg}{y}}\right)}} = </math>
<math> = \lim_{y\to 0} \frac{2\sqrt{2}\sin{y}}{2\ln {\left(1+\frac{2\operatorname{tg}{y}}{1-\operatorname{tg}{y}}\right)}} = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\sin {y} \sim y</math>, при <math>y \to 0</math>
<math>\ln{\left(1+\frac{2\operatorname{tg}{y}}{1-\operatorname{tg}{y}}\right)} \sim \frac{2\operatorname{tg}{y}}{1-\operatorname{tg}{y}}</math>, при <math>y \to 0\left(\frac{2\operatorname{tg}{y}}{1-\operatorname{tg}{y}}\to 0\right)</math>

Получаем:

<math> = \lim_{y\to 0} \frac{\sqrt{2}y}{\frac{2\operatorname{tg}{y}}{1-\operatorname{tg}{y}}} = \lim_{y\to 0} \frac{\sqrt{2}y\left(1-\operatorname{tg}{y}\right)}{2\operatorname{tg}{y}} = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\operatorname{tg}{y} \sim y</math>, при <math>y \to 0</math>

Получаем:

<math> = \lim_{y\to 0} \frac{\sqrt{2}y\left(1-\operatorname{tg}{y}\right)}{2y} =\lim_{y\to 0} \frac{\sqrt{2}\left(1-\operatorname{tg}{y}\right)}{2} = </math>
<math> = \frac{\sqrt{2}\left(1-\operatorname{tg}{0}\right)}{2} =\frac{\sqrt{2}(1-0)}{2} =\frac{\sqrt{2}}{2} </math>