Zadacha Kuznecov Predely 15-10

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 1} \frac{1-x^2}{\sin {\pi x}}</math>

Решение

Замена:

<math>x=y+1 \Rightarrow y=x-1</math>
<math>x\to 1 \Rightarrow y \to 0</math>

Получаем:

<math>\lim_{x\to 1} \frac{1-x^2}{\sin {\pi x}} = \lim_{y\to 0} \frac{1-(y+1)^2}{\sin {\pi(y+1)}} = </math>
<math> = \lim_{y\to 0} \frac{1-y^2-2y-1}{\sin {(\pi y+\pi)}} = \lim_{y\to 0} \frac{-y^2-2y}{-\sin {(\pi y)}} = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\sin {(\pi y)} \sim \pi y</math>, при <math>y \to 0(\pi y\to 0)</math>

Получаем:

<math> = \lim_{y\to 0} \frac{-y^2-2y}{-\pi y} = \lim_{y\to 0} \frac{y+2}{\pi} = \frac{0+2}{\pi} = \frac{2}{\pi}</math>