Zadacha Kuznecov Predely 14-9

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{12^x-5^{-3x}}{2\arcsin {x}-x}</math>

Решение

<math>\lim_{x\to 0} \frac{12^x-5^{-3x}}{2\arcsin {x}-x} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(12^{x}-1\right)-\left(125^{-x}-1\right)}{2\arcsin {x}-x} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\left(\left(e^{\ln {12}}\right)^x-1\right)-\left(\left(e^{\ln {125}}\right)^{-x}-1\right)}{2\arcsin {x}-x} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{x\ln {12}}-1\right)-\left(e^{-x\ln {125}}-1\right)}{2\arcsin {x}-x} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {12}}-1\right)-\left(e^{-x\ln {125}}-1\right)\right)}{\frac{1}{x}\left(2\arcsin {x}-x\right)} = </math>
<math>= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {12}}-1\right)-\left(e^{-x\ln {125}}-1\right)\right)}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(2\arcsin {x}-x\right)} = </math>
<math>= \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {12}}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{e^{-x\ln {125}}-1}{x}\right) / \left(\lim_{x\to 0} \frac{2\arcsin {x}}{x} - \lim_{x\to 0} \frac{x}{x} \right) = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math> e^{x\ln {12}}-1 \sim x\ln {12}</math>, при <math>x \to 0 (x\ln {12} \to 0)</math>
<math> e^{-x\ln {125}}-1 \sim -x\ln {125}</math>, при <math>x \to 0 (-x\ln {125} \to 0)</math>
<math>\arcsin {x} \sim x</math>, при <math>x \to 0</math>

Получаем:

<math>= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {12}}{x}-\lim\limits_{x\to 0} \frac{-x\ln {125}}{x}}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{2x}{x} - \lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{x}} = \frac{\lim\limits_{x\to 0} \ln {12}-\lim\limits_{x\to 0} -\ln {125}}{\lim\limits_{x\to 0} 2 - \lim\limits_{x\to 0} 1} = </math>
<math> = \frac{\ln {12} + \ln {125}}{2 - 1} = \ln{\left(12\cdot 5^3\right)}</math>