Zadacha Kuznecov Predely 14-7

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{3^{5x}-2^x}{x-\sin {9x}}</math>

Решение

<math>\lim_{x\to 0} \frac{3^{5x}-2^x}{x-\sin {9x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(243^{x}-1\right)-\left(2^{x}-1\right)}{x-\sin {9x}} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\left(\left(e^{\ln {243}}\right)^x-1\right)-\left(\left(e^{\ln {2}}\right)^x-1\right)}{x-\sin {9x}} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{x\ln {243}}-1\right)-\left(e^{x\ln {2}}-1\right)}{x-\sin {9x}} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {243}}-1\right)-\left(e^{x\ln {2}}-1\right)\right)}{\frac{1}{x}\left(x-\sin {9x}\right)} = </math>
<math>= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {243}}-1\right)-\left(e^{x\ln {2}}-1\right)\right)}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(x-\sin {9x}\right)} = </math>
<math>= \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {243}}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {2}}-1}{x}\right) / \left(\lim_{x\to 0} \frac{x}{x} - \lim_{x\to 0} \frac{\sin {9x}}{x} \right) = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math> e^{x\ln {243}}-1 \sim x\ln {243}</math>, при <math>x \to 0 (x\ln {243} \to 0)</math>
<math> e^{x\ln {2}}-1 \sim x\ln {2}</math>, при <math>x \to 0 (x\ln {2} \to 0)</math>
<math>\sin {9x} \sim 9x</math>, при <math>x \to 0 (9x \to 0)</math>

Получаем:

<math>= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {243}}{x}-\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {2}}{x}}{\lim\limits_{x\to 0} 1 - \lim\limits_{x\to 0} \frac{9x}{x}} = \frac{\lim\limits_{x\to 0} \ln {243}-\lim\limits_{x\to 0} \ln {2}}{1 - \lim\limits_{x\to 0} 9} = </math>
<math> = \frac{\ln {243} - \ln {2}}{1 - 9} = -\frac{1}{8}\ln{\frac{243}{2}}= \frac{1}{8}\ln{\frac{2}{243}}</math>