Zadacha Kuznecov Predely 14-6

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^{3x}}{\operatorname{arctg}{x}-x^2}</math>

Решение

<math>\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^{3x}}{\operatorname{arctg}{x}-x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{2x}-1\right)-\left(e^{3x}-1\right)}{\operatorname{arctg}{x}-x^2} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}\left(\left(e^{2x}-1\right)-\left(e^{3x}-1\right)\right)}{\frac{1}{x}\left(\operatorname{arctg}{x}-x^2\right)} = </math>
<math>= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\left(e^{2x}-1\right)-\left(e^{3x}-1\right)\right)}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\operatorname{arctg}{x}-x^2\right)} = </math>
<math>= \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{e^{3x}-1}{x}\right) / \left(\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg}{x}}{x} - \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x} \right) = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math> e^{2x}-1 \sim 2x</math>, при <math>x \to 0 (2x\to 0)</math>
<math> e^{3x}-1 \sim 3x</math>, при <math>x \to 0 (3x\to 0)</math>
<math>\operatorname{arctg}{x} \sim x</math>, при <math>x \to 0</math>

Получаем:

<math>= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{2x}{x}-\lim\limits_{x\to 0} \frac{3x}{x}}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{x} - \lim\limits_{x\to 0} \frac{x^2}{x}} = \frac{\lim\limits_{x\to 0} 2 -\lim\limits_{x\to 0} 3}{\lim\limits_{x\to 0} 1 - \lim\limits_{x\to 0} x} = \frac{2 - 3}{1 - 0} = -1</math>