Zadacha Kuznecov Predely 14-5

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Вычислить предел функции:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{3^{2x}-5^{3x}}{\operatorname{arctg}{x}+x^3}}

Решение[править]

Первый способ[править]

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{3^{2x}-5^{3x}}{\operatorname{arctg}{x}+x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(9^{x}-1\right)-\left(125^{x}-1\right)}{\operatorname{arctg}{x}+x^3} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{\left(\left(e^{\ln {9}}\right)^x-1\right)-\left(\left(e^{\ln {125}}\right)^x-1\right)}{\operatorname{arctg}{x}+x^3} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{x\ln {9}}-1\right)-\left(e^{x\ln {125}}-1\right)}{\operatorname{arctg}{x}+x^3} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {9}}-1\right)-\left(e^{x\ln {125}}-1\right)\right)}{\frac{1}{x}\left(\operatorname{arctg}{x}+x^3\right)} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {9}}-1\right)-\left(e^{x\ln {125}}-1\right)\right)}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\operatorname{arctg}{x}+x^3\right)} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {9}}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {125}}-1}{x}\right) / \left(\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg}{x}}{x} + \lim_{x\to 0} \frac{x^3}{x} \right) = }

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{x\ln {9}}-1 \sim x\ln {9}} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0 (x\ln {9} \to 0)}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{x\ln {125}}-1 \sim x\ln {125}} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0 (x\ln {125} \to 0)}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{arctg}{x} \sim x} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0}

Получаем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {9}}{x}-\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {125}}{x}}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{x} + \lim\limits_{x\to 0} x^2} = \frac{\lim\limits_{x\to 0} \ln {9}-\lim\limits_{x\to 0} \ln {125}}{\lim\limits_{x\to 0} 1 + 0} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \frac{\ln {9} - \ln {125}}{1 + 0} = \ln{\frac{9}{125}}}

Второй способ[править]

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{3^{2x}-5^{3x}}{\operatorname{arctg}{x}+x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(3^{2x}-1\right)-\left(5^{3x}-1\right)}{\operatorname{arctg}{x}+x^3} = }

Используем известные эквивалентности:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3^{2x}-1 \sim 2x\ln {3}} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 5^{3x}-1 \sim 3x\ln {5}} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{arctg}{x} \sim x} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2x \ln {3}-3x\ln {5}}{x+x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{2\ln {3}-3\ln{5}}{1+x^2} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =2\ln {3}-3\ln{5}=\ln{\frac{9}{125}}}