Zadacha Kuznecov Predely 14-5

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{3^{2x}-5^{3x}}{\operatorname{arctg}{x}+x^3}</math>

Решение

Первый способ

<math>\lim_{x\to 0} \frac{3^{2x}-5^{3x}}{\operatorname{arctg}{x}+x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(9^{x}-1\right)-\left(125^{x}-1\right)}{\operatorname{arctg}{x}+x^3} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\left(\left(e^{\ln {9}}\right)^x-1\right)-\left(\left(e^{\ln {125}}\right)^x-1\right)}{\operatorname{arctg}{x}+x^3} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{x\ln {9}}-1\right)-\left(e^{x\ln {125}}-1\right)}{\operatorname{arctg}{x}+x^3} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {9}}-1\right)-\left(e^{x\ln {125}}-1\right)\right)}{\frac{1}{x}\left(\operatorname{arctg}{x}+x^3\right)} = </math>
<math>= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {9}}-1\right)-\left(e^{x\ln {125}}-1\right)\right)}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\operatorname{arctg}{x}+x^3\right)} = </math>
<math>= \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {9}}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {125}}-1}{x}\right) / \left(\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg}{x}}{x} + \lim_{x\to 0} \frac{x^3}{x} \right) = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math> e^{x\ln {9}}-1 \sim x\ln {9}</math>, при <math>x \to 0 (x\ln {9} \to 0)</math>
<math> e^{x\ln {125}}-1 \sim x\ln {125}</math>, при <math>x \to 0 (x\ln {125} \to 0)</math>
<math>\operatorname{arctg}{x} \sim x</math>, при <math>x \to 0</math>

Получаем:

<math>= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {9}}{x}-\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {125}}{x}}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{x} + \lim\limits_{x\to 0} x^2} = \frac{\lim\limits_{x\to 0} \ln {9}-\lim\limits_{x\to 0} \ln {125}}{\lim\limits_{x\to 0} 1 + 0} = </math>
<math> = \frac{\ln {9} - \ln {125}}{1 + 0} = \ln{\frac{9}{125}}</math>

Второй способ

<math>\lim_{x\to 0} \frac{3^{2x}-5^{3x}}{\operatorname{arctg}{x}+x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(3^{2x}-1\right)-\left(5^{3x}-1\right)}{\operatorname{arctg}{x}+x^3} = </math>

Используем известные эквивалентности:

<math> 3^{2x}-1 \sim 2x\ln {3}</math>, при <math>x \to 0</math>
<math> 5^{3x}-1 \sim 3x\ln {5}</math>, при <math>x \to 0</math>
<math>\operatorname{arctg}{x} \sim x</math>, при <math>x \to 0</math>
<math> \lim_{x\to 0} \frac{2x \ln {3}-3x\ln {5}}{x+x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{2\ln {3}-3\ln{5}}{1+x^2} = </math>
<math> =2\ln {3}-3\ln{5}=\ln{\frac{9}{125}}</math>