Zadacha Kuznecov Predely 14-3

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{6^{2x}-7^{-2x}}{\sin {3x}-2x}</math>

Решение

<math>\lim_{x\to 0} \frac{6^{2x}-7^{-2x}}{\sin {3x}-2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(36^{x}-1\right)-\left(49^{-x}-1\right)}{\sin {3x}-2x} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\left(\left(e^{\ln {36}}\right)^x-1\right)-\left(\left(e^{\ln {49}}\right)^{-x}-1\right)}{\sin {3x}-2x} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{x\ln {36}}-1\right)-\left(e^{-x\ln {49}}-1\right)}{\sin {3x}-2x} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {36}}-1\right)-\left(e^{-x\ln {49}}-1\right)\right)}{\frac{1}{x}\left(\sin {3x}-2x\right)} = </math>
<math>= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {36}}-1\right)-\left(e^{-x\ln {49}}-1\right)\right)}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\sin {3x}-2x\right)} = </math>
<math>= \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {36}}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{e^{-x\ln {49}}-1}{x}\right) / \left(\lim_{x\to 0} \frac{\sin {3x}}{x} - \lim_{x\to 0} \frac{2x}{x} \right) = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math> e^{x\ln {36}}-1 \sim x\ln {36}</math>, при <math>x \to 0 (x\ln {36} \to 0)</math>
<math> e^{-x\ln {49}}-1 \sim -x\ln {49}</math>, при <math>x \to 0 (-x\ln {49} \to 0)</math>
<math>\sin {3x} \sim 3x</math>, при <math>x \to 0(3x\to 0)</math>

Получаем:

<math>= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {36}}{x}-\lim\limits_{x\to 0} \frac{-x\ln {49}}{x}}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{3x}{x} - \lim\limits_{x\to 0} 2} = \frac{\lim\limits_{x\to 0} \ln {36}-\lim\limits_{x\to 0} -\ln {49}}{\lim\limits_{x\to 0} 3 - 2} = </math>
<math> = \frac{\ln {36} + \ln {49}}{3 - 2} = \ln{\left(6^2\cdot 7^2\right)}</math>