Zadacha Kuznecov Predely 14-2

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{e^{3x}-e^{-2x}}{2\arcsin {x}-\sin {x}}</math>

Решение

<math>\lim_{x\to 0} \frac{e^{3x}-e^{-2x}}{2\arcsin {x}-\sin {x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{3x}-1\right)-\left(e^{-2x}-1\right)}{2\arcsin {x}-\sin {x}} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}\left(\left(e^{3x}-1\right)-\left(e^{-2x}-1\right)\right)}{\frac{1}{x}\left(2\arcsin {x}-\sin {x}\right)} = </math>
<math>= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\left(e^{3x}-1\right)-\left(e^{-2x}-1\right)\right)}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(2\arcsin {x}-\sin {x}\right)} = </math>
<math>= \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{3x}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{e^{-2x}-1}{x}\right) / \left(\lim_{x\to 0} \frac{2\arcsin{x}}{x} - \lim_{x\to 0} \frac{x}{x} \right) = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math> e^{3x}-1 \sim 3x</math>, при <math>x \to 0 (3x\to 0)</math>
<math> e^{-2x}-1 \sim -2x</math>, при <math>x \to 0 (-2x\to 0)</math>
<math>\arcsin{x} \sim x</math>, при <math>x \to 0</math>
<math>\sin{x} \sim x</math>, при <math>x \to 0</math>

Получаем:

<math>= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{3x}{x}-\lim\limits_{x\to 0} \frac{-2x}{x}}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{2x}{x} - \lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{x}} = \frac{\lim\limits_{x\to 0} 3 -\lim\limits_{x\to 0} -2}{\lim\limits_{x\to 0} 2 - \lim\limits_{x\to 0} 1} = \frac{3 + 2}{2 - 1} = 5</math>