Zadacha Kuznecov Predely 13-4

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 2} \frac{\operatorname{tg}{x}-\operatorname{tg}{2}}{\sin {\left(\ln {\left(x-1 \right)}\right)}}</math>

Решение

<math>\lim_{x\to 2} \frac{\operatorname{tg}{x}-\operatorname{tg}{2}}{\sin {\left(\ln {\left(x-1 \right)}\right)}} = \lim_{x\to 2} \frac{\frac{\sin{(x-2)}}{\cos{x}\cdot \cos{2}}}{\sin {\left(\ln {\left(x-1 \right)}\right)}} = </math>
<math>= \lim_{x\to 2} \frac{\sin{(x-2)}}{\cos{x}\cdot \cos{2}\cdot \sin {\left(\ln {\left(x-1 \right)}\right)}} = </math>

Замена:

<math>x=y+2 \Rightarrow y=x -2</math>
<math>x\to 2 \Rightarrow y \to 0</math>

Получаем:

<math>= \lim_{y\to 0} \frac{\sin{(y+2-2)}}{\cos{(y+2)}\cdot \cos{2}\cdot \sin {\left(\ln {\left(y+2-1 \right)}\right)}} = </math>
<math>= \lim_{y\to 0} \frac{\sin{y}}{\cos{(y+2)}\cdot \cos{2}\cdot \sin {\left(\ln {\left(1+y \right)}\right)}} = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\ln{\left(1+y \right)} \sim y</math>, при <math>y \to 0</math>

Получаем:

<math>= \lim_{y\to 0} \frac{\sin{y}}{\cos{(y+2)}\cdot \cos{2}\cdot \sin {y}} = \lim_{y\to 0} \frac{1}{\cos{(y+2)}\cdot \cos{2}} = </math>
<math>= \frac{1}{\cos{(0+2)}\cdot \cos{2}} =\frac{1}{\cos^{2}{(2)}} </math>