Zadacha Kuznecov Predely 12-9

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to \pi } \frac{\cos{5x}-\cos{3x}}{\sin^{2}{x}}</math>

Решение

<math>\lim_{x\to \pi } \frac{\cos{5x}-\cos{3x}}{\sin^{2}{x}} = \lim_{x\to \pi } \frac{-2\sin{\frac{5x+3x}{2}}\sin{\frac{5x-3x}{2}}}{\sin^{2}{x}} = </math>
<math>= \lim_{x\to \pi } \frac{-2\sin{4x}\sin{x}}{\sin^{2}{x}} =\lim_{x\to \pi } \frac{-2\sin{4x}}{\sin{x}} = </math>

Замена:

<math>x=y+\pi \Rightarrow y=x -\pi</math>
<math>x\to \pi \Rightarrow y \to 0</math>

Получаем:

<math>= \lim_{y\to 0} \frac{-2\sin{4(y+\pi)}}{\sin{(y+\pi)}} = \lim_{y\to 0} \frac{-2\sin{(4y+4\pi)}}{-\sin{y}} = </math>
<math>= \lim_{y\to 0} \frac{2\sin{4y}}{\sin{y}} = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\sin{4y} \sim 4y</math>, при <math>y \to 0(4y \to 0)</math>
<math>\sin{y} \sim y</math>, при <math>y \to 0</math>
<math>= \lim_{y\to 0} \frac{2\cdot 4y}{y} =\lim_{y\to 0} \frac{8}{1} = 8</math>