Перейти к содержанию
Главное меню
Главное меню
переместить в боковую панель
скрыть
Навигация
Главная
Свежие правки
Случайная страница
Полезные ссылки
задачники
Задачник Кузнецова Л.А.
PlusPi
Поиск
Найти
Создать учётную запись
Войти
Персональные инструменты
Тёмная тема
Создать учётную запись
Войти
Страницы для неавторизованных редакторов
узнать больше
Вклад
Обсуждение
Содержание
переместить в боковую панель
скрыть
Начало
1
Условие задачи
2
Решение
Отобразить/Скрыть содержание
Отобразить/Скрыть содержание
Zadacha Kuznecov Predely 12-9
Статья
Обсуждение
русский
Читать
Править
История
Инструменты
Инструменты
переместить в боковую панель
скрыть
Действия
Читать
Править
История
Очистить
Общие
Ссылки сюда
Связанные правки
Служебные страницы
Версия для печати
Постоянная ссылка
Сведения о странице
Цитировать страницу
Получить короткий URL
Материал из PlusPi
Условие задачи
[
править
]
Вычислить предел функции:
lim
x
→
π
cos
5
x
−
cos
3
x
sin
2
x
{\displaystyle \lim _{x\to \pi }{\frac {\cos {5x}-\cos {3x}}{\sin ^{2}{x}}}}
Решение
[
править
]
lim
x
→
π
cos
5
x
−
cos
3
x
sin
2
x
=
lim
x
→
π
−
2
sin
5
x
+
3
x
2
sin
5
x
−
3
x
2
sin
2
x
=
{\displaystyle \lim _{x\to \pi }{\frac {\cos {5x}-\cos {3x}}{\sin ^{2}{x}}}=\lim _{x\to \pi }{\frac {-2\sin {\frac {5x+3x}{2}}\sin {\frac {5x-3x}{2}}}{\sin ^{2}{x}}}=}
=
lim
x
→
π
−
2
sin
4
x
sin
x
sin
2
x
=
lim
x
→
π
−
2
sin
4
x
sin
x
=
{\displaystyle =\lim _{x\to \pi }{\frac {-2\sin {4x}\sin {x}}{\sin ^{2}{x}}}=\lim _{x\to \pi }{\frac {-2\sin {4x}}{\sin {x}}}=}
Замена:
x
=
y
+
π
⇒
y
=
x
−
π
{\displaystyle x=y+\pi \Rightarrow y=x-\pi }
x
→
π
⇒
y
→
0
{\displaystyle x\to \pi \Rightarrow y\to 0}
Получаем:
=
lim
y
→
0
−
2
sin
4
(
y
+
π
)
sin
(
y
+
π
)
=
lim
y
→
0
−
2
sin
(
4
y
+
4
π
)
−
sin
y
=
{\displaystyle =\lim _{y\to 0}{\frac {-2\sin {4(y+\pi )}}{\sin {(y+\pi )}}}=\lim _{y\to 0}{\frac {-2\sin {(4y+4\pi )}}{-\sin {y}}}=}
=
lim
y
→
0
2
sin
4
y
sin
y
=
{\displaystyle =\lim _{y\to 0}{\frac {2\sin {4y}}{\sin {y}}}=}
Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:
sin
4
y
∼
4
y
{\displaystyle \sin {4y}\sim 4y}
, при
y
→
0
(
4
y
→
0
)
{\displaystyle y\to 0(4y\to 0)}
sin
y
∼
y
{\displaystyle \sin {y}\sim y}
, при
y
→
0
{\displaystyle y\to 0}
=
lim
y
→
0
2
⋅
4
y
y
=
lim
y
→
0
8
1
=
8
{\displaystyle =\lim _{y\to 0}{\frac {2\cdot 4y}{y}}=\lim _{y\to 0}{\frac {8}{1}}=8}
Категории
:
Страницы с игнорируемыми отображаемыми названиями
Задачник Кузнецова Пределы Задача 12
Пределы
Cookie-файлы помогают нам предоставлять наши услуги. Используя наши сервисы, вы соглашаетесь с использованием cookie-файлов.
Дополнительная информация
ОК
Отобразить/Скрыть ограниченную ширину содержимого