Zadacha Kuznecov Predely 12-6

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{tg}{3x}}{\operatorname{tg}{x}}</math>

Решение

Замена:

<math>x=y+\frac{\pi}{2} \Rightarrow y=x -\frac{\pi}{2}</math>
<math>x\to \frac{\pi}{2} \Rightarrow y \to 0</math>

Получаем:

<math>\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{tg}{3x}}{\operatorname{tg}{x}} =\lim_{y\to 0} \frac{\operatorname{tg}{3\left(y+\frac{\pi}{2}\right)}}{\operatorname{tg}{\left(y+\frac{\pi}{2}\right)}} =\lim_{y\to 0} \frac{\operatorname{tg}{\left(3y+\frac{3\pi}{2}\right)}}{\operatorname{tg}{\left(y+\frac{\pi}{2}\right)}} = </math>
<math> =\lim_{y\to 0} \frac{-\operatorname{ctg}{(3y)}}{-\operatorname{ctg}{y}} =\lim_{y\to 0} \frac{\operatorname{tg}{y}}{\operatorname{tg}{3y}} = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\operatorname{tg}{y} \sim y</math>, при <math>y \to 0</math>
<math>\operatorname{tg}{3y} \sim 3y</math>, при <math>y \to 0 (3y\to 0)</math>

Получаем:

<math> =\lim_{y\to 0} \frac{y}{3y} = \lim_{y\to 0} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}</math>