Zadacha Kuznecov Predely 11-8

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin {3x}}{{\sqrt {2+x}}-{\sqrt {2}}}}$

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\arcsin {3x}\sim 3x$, при $x\to 0(3x\to 0)$

Получаем:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin {3x}}{{\sqrt {2+x}}-{\sqrt {2}}}}=\left\{{\frac {0}{0}}\right\}=\lim _{x\to 0}{\frac {3x}{{\sqrt {2+x}}-{\sqrt {2}}}}=$

$=\lim _{x\to 0}{\frac {3x\left({\sqrt {2+x}}+{\sqrt {2}}\right)}{\left({\sqrt {2+x}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {2+x}}+{\sqrt {2}}\right)}}=$

$=\lim _{x\to 0}{\frac {3x\left({\sqrt {2+x}}+{\sqrt {2}}\right)}{2+x-2}}=\lim _{x\to 0}{\frac {3x\left({\sqrt {2+x}}+{\sqrt {2}}\right)}{x}}=$

$=\lim _{x\to 0}3\left({\sqrt {2+x}}+{\sqrt {2}}\right)=3\left({\sqrt {2+0}}+{\sqrt {2}}\right)=6{\sqrt {2}}$