Zadacha Kuznecov Predely 11-30

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{2\left(e^{\pi x}-1\right)}{3\left(\sqrt[3]{1+x}-1\right)}</math>

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>e^{\pi x} -1 \sim \pi x</math>, при <math>x \to 0 (\pi x \to 0)</math>

Получаем:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{2\left(e^{\pi x}-1\right)}{3\left(\sqrt[3]{1+x}-1\right)} = \left\{\frac{0}{0}\right\}= \lim_{x\to 0} \frac{2\pi x\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1\right)}{3\left(\sqrt[3]{1+x}-1\right)\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1\right)} =</math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{2\pi x\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1\right)}{3\left(1+x-1\right)}= \lim_{x\to 0} \frac{2\pi x\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1\right)}{3x} =</math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{2\pi \left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1\right)}{3} = \frac{2\pi \left(\sqrt[3]{(1+0)^2}+\sqrt[3]{1+0}+1\right)}{3} =</math>
<math>= \frac{2\pi (1+1+1)}{3} = 2\pi</math>