Zadacha Kuznecov Predely 11-30

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Вычислить предел функции:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2\left(e^{\pi x}-1\right)}{3\left(\sqrt[3]{1+x}-1\right)}}

Решение[править]

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{\pi x} -1 \sim \pi x} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0 (\pi x \to 0)}

Получаем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2\left(e^{\pi x}-1\right)}{3\left(\sqrt[3]{1+x}-1\right)} = \left\{\frac{0}{0}\right\}= \lim_{x\to 0} \frac{2\pi x\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1\right)}{3\left(\sqrt[3]{1+x}-1\right)\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1\right)} =}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{2\pi x\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1\right)}{3\left(1+x-1\right)}= \lim_{x\to 0} \frac{2\pi x\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1\right)}{3x} =}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{2\pi \left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1\right)}{3} = \frac{2\pi \left(\sqrt[3]{(1+0)^2}+\sqrt[3]{1+0}+1\right)}{3} =}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \frac{2\pi (1+1+1)}{3} = 2\pi}