Zadacha Kuznecov Predely 11-28

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln \left(x^{2}+1\right)}{1-{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln {(1+x^{2})}\sim x^{2}$, при $x\to 0(x^{2}\to 0)$

Получаем:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln \left(x^{2}+1\right)}{1-{\sqrt {x^{2}+1}}}}=\left\{{\frac {0}{0}}\right\}=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{1-{\sqrt {x^{2}+1}}}}=$

$=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}\left(1+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}{\left(1-{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\left(1+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}}=$

$=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}\left(1+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}{1-(x^{2}+1)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}\left(1+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}{-x^{2}}}=$

$=-\lim _{x\to 0}\left(1+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)=-\left(1+{\sqrt {0^{2}+1}}\right)=-2$