Zadacha Kuznecov Predely 11-28

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{\ln \left(x^2+1\right)}{1-\sqrt{x^2+1} }</math>

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\ln {(1+x^2)} \sim x^2</math>, при <math>x \to 0 (x^2 \to 0)</math>

Получаем:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{\ln \left(x^2+1\right)}{1-\sqrt{x^2+1}} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{1-\sqrt{x^2+1}} =</math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{x^2\left(1+\sqrt{x^2+1}\right)}{\left(1-\sqrt{x^2+1}\right)\left(1+\sqrt{x^2+1}\right)} =</math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{x^2\left(1+\sqrt{x^2+1}\right)}{1-(x^2+1)}= \lim_{x\to 0} \frac{x^2\left(1+\sqrt{x^2+1}\right)}{-x^2} =</math>
<math>= -\lim_{x\to 0} \left(1+\sqrt{x^2+1}\right) = -\left(1+\sqrt{0^2+1}\right) = -2</math>