Zadacha Kuznecov Predely 11-26

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin {2x}}{\ln {(e-x)}-1}</math>

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\arcsin{2x} \sim 2x</math>, при <math>x \to 0 (2x \to 0)</math>
<math>\ln {\left(1+\left(-\frac{x}{e}\right)\right)} \sim -\frac{x}{e}</math>, при <math>x \to 0 \left(-\frac{x}{e} \to 0\right)</math>

Получаем:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin {2x}}{\ln {(e-x)}-1} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{2x}{\ln {\left(e\left(1-\frac{x}{e}\right)\right)}-1} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{2x}{\ln {e} + \ln {\left(1-\frac{x}{e}\right)}-1} = \lim_{x\to 0} \frac{2x}{1 + \ln {\left(1-\frac{x}{e}\right)}-1} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{2x}{\ln {\left(1-\frac{x}{e}\right)}}= \lim_{x\to 0} \frac{2x}{-\frac{x}{e}} = \lim_{x\to 0} -2e = -2e</math>