Zadacha Kuznecov Predely 11-24(2)

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 11-24(1)

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{1+\cos{(x-\pi)}}{\left(e^{3x}-1\right)^2}</math>

Решение

<math>\lim_{x\to 0} \frac{1+\cos{(x-\pi)}}{\left(e^{3x}-1\right)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1+\cos{(\pi-x)}}{\left(e^{3x}-1\right)^2} = </math>

Воспользуемся формулой приведения:

<math> = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{\left(e^{3x}-1\right)^2} = </math>

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>1 - \cos{x} \sim \frac{x^2}{2}</math>, при <math>x \to 0</math>
<math>e^{3x} -1 \sim 3x</math>, при <math>x \to 0 (3x \to 0)</math>

Получаем:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{\left(e^{3x}-1\right)^2} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{(3x)^2} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{1}{2\cdot 3^2} = \frac{1}{18}</math>