Zadacha Kuznecov Predely 11-24(2)

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 11-24(1)

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim _{x\to 0}{\frac {1+\cos {(x-\pi )}}{\left(e^{3x}-1\right)^{2}}}$

Решение

$\lim _{x\to 0}{\frac {1+\cos {(x-\pi )}}{\left(e^{3x}-1\right)^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1+\cos {(\pi -x)}}{\left(e^{3x}-1\right)^{2}}}=$

Воспользуемся формулой приведения:

$=\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos {x}}{\left(e^{3x}-1\right)^{2}}}=$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$1-\cos {x}\sim {\frac {x^{2}}{2}}$, при $x\to 0$

$e^{3x}-1\sim 3x$, при $x\to 0(3x\to 0)$

Получаем:

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos {x}}{\left(e^{3x}-1\right)^{2}}}=\left\{{\frac {0}{0}}\right\}=\lim _{x\to 0}{\frac {\frac {x^{2}}{2}}{(3x)^{2}}}=$

$=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{2\cdot 3^{2}}}={\frac {1}{18}}$