Zadacha Kuznecov Predely 11-20

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{\sin \left(5(x+\pi )\right)}{e^{3x}-1}</math>

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>e^{3x}-1 \sim 3x</math>, при <math>x \to 0 (3x \to 0)</math>
<math>\sin {5x} \sim 5x</math>, при <math>x \to 0 (5x \to 0)</math>

Получаем:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{\sin \left(5(x+\pi )\right)}{e^{3x}-1} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin \left(5x+5\pi\right)}{3x} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\sin \left(5x+\pi\right)}{3x} = \lim_{x\to 0} \frac{-\sin (5x)}{3x} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{-5}{3} = - \frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}</math>