Zadacha Kuznecov Predely 11-18

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{\cos {2x}-\cos {x}}{1-\cos {x}}</math>

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\sin {\frac{x}{2}} \sim \frac{x}{2}</math>, при <math>x \to 0 (\frac{x}{2} \to 0)</math>
<math>\sin {\frac{3x}{2}} \sim \frac{3x}{2}</math>, при <math>x \to 0 (\frac{3x}{2} \to 0)</math>
<math>1 - \cos {x} \sim \frac{x^2}{2}</math>, при <math>x \to 0</math>

Получаем:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{\cos {2x}-\cos {x}}{1-\cos {x}} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{-2\sin {\frac{2x+x}{2}}\sin {\frac{2x-x}{2}}}{\frac{x^2}{2}} = </math>
<math>= \lim_{x\to 0} \frac{-4\sin {\frac{3x}{2}}\sin {\frac{x}{2}}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-4\cdot \frac{3x}{2}\cdot \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-3}{1} = -3 </math>