Zadacha Kuznecov Predely 11-18

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Вычислить предел функции:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\cos {2x}-\cos {x}}{1-\cos {x}}}

Решение[править]

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin {\frac{x}{2}} \sim \frac{x}{2}} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0 (\frac{x}{2} \to 0)}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin {\frac{3x}{2}} \sim \frac{3x}{2}} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0 (\frac{3x}{2} \to 0)}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1 - \cos {x} \sim \frac{x^2}{2}} , при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \to 0}

Получаем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\cos {2x}-\cos {x}}{1-\cos {x}} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{-2\sin {\frac{2x+x}{2}}\sin {\frac{2x-x}{2}}}{\frac{x^2}{2}} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{-4\sin {\frac{3x}{2}}\sin {\frac{x}{2}}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-4\cdot \frac{3x}{2}\cdot \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-3}{1} = -3 }