Zadacha Kuznecov Predely 11-17

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{2\sin \left(\pi (x+1)\right)}{\ln (1+2x)}</math>

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\ln(1+2x) \sim 2x</math>, при <math>x \to 0 (2x \to 0)</math>
<math>\sin {\pi x} \sim \pi x</math>, при <math>x \to 0 (\pi x \to 0)</math>

Получаем:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{2\sin \left(\pi (x+1)\right)}{\ln (1+2x)} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{2\sin \left(\pi x+\pi\right)}{2x} = </math>
<math> = \lim_{x\to 0} \frac{-2\sin \left(\pi x\right)}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{-2\pi x}{2x}= \lim_{x\to 0} \frac{-\pi}{1} = -\pi</math>