Zadacha Kuznecov Predely 11-16

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{4+x} -2}{3\operatorname{arctg}{x}}</math>

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

<math>\operatorname{arctg} {x} \sim x</math>, при <math>x \to 0</math>

Получаем:

<math>\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{4+x} -2}{3\operatorname{arctg}{x}} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{4+x} -2}{3x} = </math>
<math> = \lim_{x\to 0} \frac{\left(\sqrt{4+x} -2\right)\left(\sqrt{4+x} +2\right)}{3x\left(\sqrt{4+x} + 2\right)} =\lim_{x\to 0} \frac{4+x -4}{3x\left(\sqrt{4+x} + 2\right)} = </math>
<math> =\lim_{x\to 0} \frac{x}{3x\left(\sqrt{4+x} + 2\right)} =\lim_{x\to 0} \frac{1}{3\left(\sqrt{4+x} + 2\right)} = </math>
<math> = \frac{1}{3\left(\sqrt{4+0} + 2\right)}= \frac{1}{3\cdot 4} = \frac{1}{12}</math>