Zadacha Kuznecov Predely 11-13(2)

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 11-13(1)

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1-3x)}{{\sqrt {8x+4}}-{2}}}$

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln(1-3x)\sim -3x$, при $x\to 0(-3x\to 0)$

Получаем:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1-3x)}{{\sqrt {8x+4}}-{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {-3x}{{\sqrt {8x+4}}-{2}}}=$

$=\lim _{x\to 0}{\frac {-3x\left({\sqrt {8x+4}}+{2}\right)}{\left({\sqrt {8x+4}}-{2}\right)\left({\sqrt {8x+4}}+{2}\right)}}=$

$=\lim _{x\to 0}{\frac {-3x\left({\sqrt {8x+4}}+{2}\right)}{8x+4-4}}=\lim _{x\to 0}{\frac {-3x\left({\sqrt {8x+4}}+{2}\right)}{8x}}=$

$=\lim _{x\to 0}{\frac {-3\left({\sqrt {8x+4}}+{2}\right)}{8}}={\frac {-3\left({\sqrt {8\cdot 0+4}}+{2}\right)}{8}}=$

$={\frac {-3\left({\sqrt {4}}+{2}\right)}{8}}={\frac {-3\cdot 4}{8}}=-{\frac {3}{2}}$