Zadacha Kuznecov Predely 10-18

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 8} \frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x^2}-4}</math>

Решение

<math>\lim_{x\to 8} \frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x^2}-4} = \lim_{x\to 8} \frac{\left(\sqrt{9+2x}-5\right)\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}\cdot 4+ 16\right)}{\left(\sqrt[3]{x^2}-4\right)\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}\cdot 4+ 16\right)} = </math>
<math>= \lim_{x\to 8} \frac{\left(\sqrt{9+2x}-5\right)\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}\cdot 4+ 16\right)}{x^2-64} = </math>
<math>= \lim_{x\to 8} \frac{\left(\sqrt{9+2x}-5\right)\left(\sqrt{9+2x}+5\right)\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}\cdot 4+ 16\right)}{\left(x^2-64\right)\left(\sqrt{9+2x}+5\right)} = </math>
<math>= \lim_{x\to 8} \frac{\left(9+2x-25\right)\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}\cdot 4+ 16\right)}{\left(x^2-64\right)\left(\sqrt{9+2x}+5\right)} = </math>
<math>= \lim_{x\to 8} \frac{\left(2x-16\right)\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}\cdot 4+ 16\right)}{\left(x^2-64\right)\left(\sqrt{9+2x}+5\right)} = </math>
<math>= \lim_{x\to 8} \frac{2\left(x-8\right)\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}\cdot 4+ 16\right)}{(x-8)(x+8)\left(\sqrt{9+2x}+5\right)} = \lim_{x\to 8} \frac{2\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}\cdot 4+ 16\right)}{(x+8)\left(\sqrt{9+2x}+5\right)} = </math>
<math> = \frac{2\left(\sqrt[3]{8^4}+\sqrt[3]{8^2}\cdot 4+ 16\right)}{(8+8)\left(\sqrt{9+2\cdot 8}+5\right)} = \frac{2\left(2^4+2^2\cdot 4+ 16\right)}{(8+8)\left(\sqrt{25}+5\right)} = \frac{2\left(16+16+ 16\right)}{16\cdot 10} = </math>
<math>= \frac {2\cdot 3\cdot 16}{16 \cdot 10} =\frac{6}{10}= 0{,}6</math>