Zadacha Kuznecov Predely 10-13

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить предел функции:

<math>\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt[3]{4x}-2}{\sqrt{2+x} -\sqrt{2x}}</math>

Решение

<math>\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt[3]{4x}-2}{\sqrt{2+x} -\sqrt{2x}} = \lim_{x\to 2} \frac{\left(\sqrt[3]{4x}-2\right) \left(\sqrt[3]{(4x)^2}+\sqrt[3]{4x}\cdot 2+4\right)} {\left(\sqrt{2+x} -\sqrt{2x}\right) \left(\sqrt[3]{(4x)^2}+\sqrt[3]{4x}\cdot 2+4\right)} =</math>
<math>= \lim_{x\to 2} \frac{4x-8}{\left(\sqrt{2+x} -\sqrt{2x}\right) \left(\sqrt[3]{(4x)^2}+\sqrt[3]{4x}\cdot 2+4\right)} =</math>
<math>= \lim_{x\to 2} \frac{(4x-8)\left(\sqrt{2+x} +\sqrt{2x}\right)}{\left(\sqrt{2+x} -\sqrt{2x}\right) \left(\sqrt{2+x} +\sqrt{2x}\right)\left(\sqrt[3]{(4x)^2}+\sqrt[3]{4x}\cdot 2+4\right)} =</math>
<math>= \lim_{x\to 2} \frac{(4x-8)\left(\sqrt{2+x} +\sqrt{2x}\right)}{\left(2 - x\right) \left(\sqrt[3]{(4x)^2}+\sqrt[3]{4x}\cdot 2+4\right)} = \lim_{x\to 2} \frac{-4(2-x)\left(\sqrt{2+x} +\sqrt{2x}\right)}{\left(2 - x\right) \left(\sqrt[3]{(4x)^2}+\sqrt[3]{4x}\cdot 2+4\right)} =</math>
<math>= \lim_{x\to 2} \frac{-4\left(\sqrt{2+x} +\sqrt{2x}\right)}{\sqrt[3]{(4x)^2}+\sqrt[3]{4x}\cdot 2+4} = \frac{-4\left(\sqrt{2+2} +\sqrt{2\cdot 2}\right)}{\sqrt[3]{(4\cdot 2)^2}+\sqrt[3]{4\cdot 2}\cdot 2+4} =</math>
<math>= \frac{-4(2 +2)}{\sqrt[3]{8^2}+\sqrt[3]{8}\cdot 2+4} =\frac{-4\cdot 4}{2^2+2\cdot 2+4} = \frac{-16}{12} =-\frac{4}{3}=-1 \frac{1}{3}</math>