Zadacha Kuznecov Predely 1-7

Условие задачи

Доказать, что $\lim _{n\to \infty }{a_{n}}=a$ (указать $N(\varepsilon )$).

$a_{n}={\frac {9-n^{3}}{1+2n^{3}}},\ a=-{\frac {1}{2}}$

Решение

По определению предела:

$\forall \varepsilon >0:\exists N(\varepsilon )\in {\mathbb {N} }:\forall n:n\geq N(\varepsilon ):|a_{n}-a|<\varepsilon$:

$\left|{\frac {9-n^{3}}{1+2n^{3}}}-\left(-{\frac {1}{2}}\right)\right|<\varepsilon ;$

Проведем преобразования:

$\left|{\frac {9-n^{3}}{1+2n^{3}}}+{\frac {1}{2}}\right|<\varepsilon ;$

$\left|{\frac {2(9-n^{3})+(1+2n^{3})}{2(1+2n^{3})}}\right|<\varepsilon ;=>$

$\left|{\frac {18-2n^{3}+1+2n^{3}}{2(1+2n^{3})}}\right|<\varepsilon ;=>$

$\left|{\frac {19}{2(1+2n^{3})}}\right|<\varepsilon ;=>$

${\frac {19}{2(1+2n^{3})}}<\varepsilon ;=>$

$1+2n^{3}>{\frac {19}{2\varepsilon }};=>$

$n^{3}>{\frac {1}{2}}\left({\frac {19}{2\varepsilon }}-1\right);$

$n>{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left({\frac {19}{2\varepsilon }}-1\right)}};$ (*)

Очевидно, что предел существует и равен $-{\frac {1}{2}}$.
Из (*) легко посчитать $N(\varepsilon )$ :

$N(\varepsilon )=\left[{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left({\frac {19}{2\varepsilon }}-1\right)}}\right]+1$