Zadacha Kuznecov Predely 1-31

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Доказать, что <math>\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a </math> (указать <math>N(\varepsilon)</math> ).

<math>a_{n} = \frac {2n^3} {n^3 - 2},\ a = 2</math>

Решение

По определению предела:

<math>\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon</math>:
<math>\left|\frac {2n^3} {n^3 - 2} - 2\right| < \varepsilon;</math>

Проведем преобразования:

<math>\left|\frac {2n^3 - 2(n^3 - 2)} {n^3 - 2}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {2n^3 - 2n^3 + 4} {n^3 - 2}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {4} {n^3 - 2}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\frac {4} {n^3 - 2} < \varepsilon; => </math>
<math>n^3 - 2 > \frac {4} {\varepsilon}; => </math>
<math>n^3 > 2 + \frac {4} {\varepsilon};</math>
<math>n > \sqrt[3]{2 + \frac {4} {\varepsilon}};</math> (*)

Очевидно, что предел существует и равен 2.
Из (*) легко посчитать <math>N(\varepsilon)</math> :

<math>N(\varepsilon) = \left[\sqrt[3]{2 + \frac {4} {\varepsilon}}\right] + 1</math>