Доказать, что lim n → ∞ a n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{a_{n}}=a} (указать N ( ε ) {\displaystyle N(\varepsilon )} ). a n = 3 n 2 + 2 4 n 2 − 1 , a = 3 4 {\displaystyle a_{n}={\frac {3n^{2}+2}{4n^{2}-1}},\ a={\frac {3}{4}}}
По определению предела:
Проведем преобразования:
Последнее неравенство будет так же выполняться, если перейдем к более сильному неравенству.
Очевидно, что предел существует и равен 3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} . Из (*) легко посчитать N ( ε ) {\displaystyle N(\varepsilon )} :