Zadacha Kuznecov Predely 1-26

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Доказать, что <math>\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a </math> (указать <math>N(\varepsilon)</math> ).

<math>a_{n} = \frac {23 - 4n} {2 - n},\ a = 4</math>

Решение

По определению предела:

<math>\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon</math>:
<math>\left|\frac {23 - 4n} {2 - n} - 4\right| < \varepsilon;</math>

Проведем преобразования:

<math>\left|\frac {23 - 4n - 4(2 - n)} {2 - n}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {23 - 4n - 8 + 4n} {2 - n}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {15} {2 - n}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {15} {n - 2}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\frac {15} {n - 2} < \varepsilon; => </math>
<math>n - 2 > \frac {15} {\varepsilon}; => </math>
<math>n > \frac {15} {\varepsilon} + 2;</math> (*)

Очевидно, что предел существует и равен 4.
Из (*) легко посчитать <math>N(\varepsilon)</math> :

<math>N(\varepsilon) = \left[\frac {15} {\varepsilon} + 2\right] + 1 = 3 + \left[\frac {15} {\varepsilon} \right] </math>