Zadacha Kuznecov Predely 1-25

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Доказать, что <math>\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a </math> (указать <math>N(\varepsilon)</math> ).

<math>a_{n} = \frac {2 - 2n} {3 + 4n},\ a = - \frac {1} {2}</math>

Решение

По определению предела:

<math>\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon</math>:
<math>\left|\frac {2 - 2n} {3 + 4n} - \left( - \frac {1} {2}\right)\right| < \varepsilon;</math>

Проведем преобразования:

<math>\left|\frac {2 - 2n} {3 + 4n} + \frac {1} {2}\right| < \varepsilon;</math>
<math>\left|\frac {2(2 - 2n) + (3 + 4n)} {2(3 + 4n)}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {4 - 4n + 3 + 4n} {2(3 + 4n)}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {7} {2(3 + 4n)}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\frac {7} {2(3+4n)} < \varepsilon; => </math>
<math>3 + 4n > \frac {7} {2\varepsilon}; => </math>
<math>n > \frac {1} {4} \left(\frac {7} {2\varepsilon} - 3\right);</math> (*)

Очевидно, что предел существует и равен <math> - \frac {1} {2}</math>.
Из (*) легко посчитать <math>N(\varepsilon)</math> :

<math>N(\varepsilon) = \left[\frac {1} {4} \left(\frac {7} {2\varepsilon} - 3\right)\right] + 1 = \left[\frac {7} {8\varepsilon} + \frac {1} {4}\right] = \left[\frac {7 + 2\varepsilon} {8\varepsilon}\right]</math>