Zadacha Kuznecov Predely 1-21

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Доказать, что <math>\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a </math> (указать <math>N(\varepsilon)</math> ).

<math>a_{n} = \frac {3n - 1} {5n + 1},\ a = \frac {3} {5}</math>

Решение

По определению предела:

<math>\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon</math>:
<math>\left|\frac {3n - 1} {5n + 1} - \frac {3} {5}\right| < \varepsilon;</math>

Проведем преобразования:

<math>\left|\frac {5(3n - 1) - 3(5n + 1)} {5(5n + 1)}\right| < \varepsilon;</math>
<math>\left|\frac {15n - 5 - 15n - 3} {5(5n + 1)}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {-8} {5(5n + 1)}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {8} {5(5n + 1)}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\frac {8} {5(5n + 1)} < \varepsilon; => </math>
<math>5n + 1 > \frac {8} {5\varepsilon}; => </math>
<math>n > \frac {1} {5} \left(\frac {8} {5\varepsilon} - 1\right);</math> (*)

Очевидно, что предел существует и равен <math>\frac {3} {5}</math>.
Из (*) легко посчитать <math>N(\varepsilon)</math> :

<math>N(\varepsilon) = \left[\frac {1} {5} \left(\frac {8} {5\varepsilon} - 1\right)\right] + 1 = \left[\frac {8} {25\varepsilon} + \frac {4} {5}\right] = \left[\frac {8 + 20\varepsilon} {25\varepsilon}\right]</math>