Zadacha Kuznecov Predely 1-19

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Доказать, что <math>\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a </math> (указать <math>N(\varepsilon)</math> ).

<math>a_{n} = \frac {3 - n^2} {4 + 2n^2},\ a = - \frac {1} {2}</math>

Решение

По определению предела:

<math>\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon</math>:
<math>\left|\frac {3 - n^2} {4 + 2n^2} - \left(-\frac {1} {2}\right)\right| < \varepsilon;</math>

Проведем преобразования:

<math>\left|\frac {3 - n^2} {4 + 2n^2} + \frac {1} {2}\right| < \varepsilon;</math>
<math>\left|\frac {2(3 - n^2) + (4 + 2n^2)} {2(4 + 2n^2)}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {6 - 2n^2 + 4 + 2n^2} {2(4 + 2n^2)}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {10} {2(4 + 2n^2)}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {5} {2(2 + n^2)}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\frac {5} {2(2 + n^2)} < \varepsilon; => </math>
<math>2 + n^2 > \frac {5} {2\varepsilon}; => </math>
<math>n^2 > \frac {5} {2\varepsilon} - 2;</math>

Последнее неравенство будет так же выполняться, если перейдем к более сильному неравенству.

<math>n > \sqrt{\left|\frac {5} {2\varepsilon} - 2\right|};</math> (*)

Очевидно, что предел существует и равен <math>- \frac {1} {2}</math>.
Из (*) легко посчитать <math>N(\varepsilon)</math>:

<math>N(\varepsilon) = \left[\sqrt{\left|\frac {5} {2\varepsilon} - 2\right|}\right] + 1</math>