Zadacha Kuznecov Predely 1-14

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Доказать, что <math>\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a </math> (указать <math>N(\varepsilon)</math> ).

<math>a_{n} = \frac {3n^2} {2 - n^2},\ a = -3</math>

Решение

По определению предела:

<math>\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon</math>:
<math>\left|\frac {3n^2} {2 - n^2} - (-3)\right| < \varepsilon;</math>

Проведем преобразования:

<math>\left|\frac {3n^2} {2 - n^2} + 3\right| < \varepsilon;</math>
<math>\left|\frac {3n^2 + 3(2 - n^2)} {2 - n^2}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {3n^2 + 6 - 3n^2} {2 - n^2}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {6} {2 - n^2}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {6} {n^2 - 2}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\frac {6} {n^2 - 2} < \varepsilon; => </math>
<math> n^2 - 2> \frac {6} {\varepsilon}; => </math>
<math> n^2 > \frac {6} {\varepsilon} + 2;</math>

Последнее неравенство будет так же выполняться, если перейдем к более сильному неравенству.

<math>n > \sqrt{\left|\frac {6} {\varepsilon} + 2\right|};</math> (*)

Очевидно, что предел существует и равен -3.
Из (*) легко посчитать <math>N(\varepsilon)</math> :

<math>N(\varepsilon) = \left[\sqrt{\left|\frac {6} {\varepsilon} + 2\right|}\right] + 1</math>