Zadacha Kuznecov Predely 1-10

Условие задачи

Доказать, что $\lim _{n\to \infty }{a_{n}}=a$ (указать $N(\varepsilon )$).

$a_{n}=-{\frac {5n}{n+1}},\ a=-5$

Решение

По определению предела:

$\forall \varepsilon >0:\exists N(\varepsilon )\in {\mathbb {N} }:\forall n:n\geq N(\varepsilon ):|a_{n}-a|<\varepsilon$:

$\left|-{\frac {5n}{n+1}}-(-5)\right|<\varepsilon ;$

Проведем преобразования:

$\left|-{\frac {5n}{n+1}}+5\right|<\varepsilon ;=>$

$\left|{\frac {-5n+5(n+1)}{n+1}}\right|<\varepsilon ;=>$

$\left|{\frac {-5n+5n+5}{n+1}}\right|<\varepsilon ;=>$

$\left|{\frac {5}{n+1}}\right|<\varepsilon ;=>$

${\frac {5}{n+1}}<\varepsilon ;=>$

$n+1>{\frac {5}{\varepsilon }};=>$

$n>{\frac {5}{\varepsilon }}-1;$ (*)

Очевидно, что предел существует и равен -5.
Из (*) легко посчитать $N(\varepsilon )$ :

$N(\varepsilon )=\left[{\frac {5}{\varepsilon }}-1\right]+1=\left[{\frac {5}{\varepsilon }}\right]$