Zadacha Kuznecov Predely 1-10

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Доказать, что <math>\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a </math> (указать <math>N(\varepsilon)</math>).

<math>a_{n} = - \frac {5n} {n + 1},\ a = -5</math>

Решение

По определению предела:

<math>\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon</math>:
<math>\left|- \frac {5n} {n + 1} - (-5)\right| < \varepsilon;</math>

Проведем преобразования:

<math>\left|-\frac {5n} {n + 1} + 5\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {-5n + 5(n+1)} {n + 1}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {-5n + 5n + 5} {n + 1}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\left|\frac {5} {n + 1}\right| < \varepsilon; => </math>
<math>\frac {5} {n + 1} < \varepsilon; => </math>
<math>n + 1 > \frac {5} {\varepsilon}; => </math>
<math>n > \frac {5} {\varepsilon} - 1;</math> (*)

Очевидно, что предел существует и равен -5.
Из (*) легко посчитать <math>N(\varepsilon)</math> :

<math>N(\varepsilon) = \left[\frac {5} {\varepsilon} - 1\right] + 1 = \left[\frac {5} {\varepsilon}\right]</math>