Условие задачи [ править ] Вычислить неопределенный интеграл:
∫
x
3
−
6
x
2
+
13
x
−
6
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
3
d
x
{\displaystyle \int {\frac {x^{3}-6x^{2}+13x-6}{(x-2)(x+2)^{3}}}dx}
∫
x
3
−
6
x
2
+
13
x
−
6
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
3
d
x
=
{\displaystyle \int {\frac {x^{3}-6x^{2}+13x-6}{(x-2)(x+2)^{3}}}dx=}
Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:
x
3
−
6
x
2
+
13
x
−
6
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
3
=
A
x
−
2
+
B
1
x
+
2
+
B
2
(
x
+
2
)
2
+
B
3
(
x
+
2
)
3
=
{\displaystyle {\frac {x^{3}-6x^{2}+13x-6}{(x-2)(x+2)^{3}}}={\frac {A}{x-2}}+{\frac {B_{1}}{x+2}}+{\frac {B_{2}}{(x+2)^{2}}}+{\frac {B_{3}}{(x+2)^{3}}}=}
=
A
(
x
+
2
)
3
+
B
1
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
2
+
B
2
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
+
B
3
(
x
−
2
)
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
3
=
{\displaystyle ={\frac {A(x+2)^{3}+B_{1}(x-2)(x+2)^{2}+B_{2}(x-2)(x+2)+B_{3}(x-2)}{(x-2)(x+2)^{3}}}=}
=
A
(
x
3
+
6
x
2
+
12
x
+
8
)
+
B
1
(
x
3
+
2
x
2
−
4
x
−
8
)
+
B
2
(
x
2
−
4
)
+
B
3
(
x
−
2
)
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
3
=
{\displaystyle ={\frac {A\left(x^{3}+6x^{2}+12x+8\right)+B_{1}\left(x^{3}+2x^{2}-4x-8\right)+B_{2}\left(x^{2}-4\right)+B_{3}(x-2)}{(x-2)(x+2)^{3}}}=}
=
(
A
+
B
1
)
x
3
+
(
6
A
+
2
B
1
+
B
2
)
x
2
+
(
12
A
−
4
B
1
+
B
3
)
x
+
(
8
A
−
8
B
1
−
4
B
2
−
2
B
3
)
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
3
{\displaystyle ={\frac {(A+B_{1})x^{3}+(6A+2B_{1}+B_{2})x^{2}+(12A-4B_{1}+B_{3})x+(8A-8B_{1}-4B_{2}-2B_{3})}{(x-2)(x+2)^{3}}}}
{
A
+
B
1
=
1
6
A
+
2
B
1
+
B
2
=
−
6
12
A
−
4
B
1
+
B
3
=
13
8
A
−
8
B
1
−
4
B
2
−
2
B
3
=
−
6
{\displaystyle {\begin{cases}A+B_{1}=1\\6A+2B_{1}+B_{2}=-6\\12A-4B_{1}+B_{3}=13\\8A-8B_{1}-4B_{2}-2B_{3}=-6\end{cases}}}
Прибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:
{
A
+
B
1
=
1
6
A
+
2
B
1
+
B
2
=
−
6
12
A
−
4
B
1
+
B
3
=
13
32
A
−
16
B
1
−
4
B
2
=
20
{\displaystyle {\begin{cases}A+B_{1}=1\\6A+2B_{1}+B_{2}=-6\\12A-4B_{1}+B_{3}=13\\32A-16B_{1}-4B_{2}=20\end{cases}}}
Прибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 4:
{
A
+
B
1
=
1
6
A
+
2
B
1
+
B
2
=
−
6
12
A
−
4
B
1
+
B
3
=
13
56
A
−
8
B
1
=
−
4
{\displaystyle {\begin{cases}A+B_{1}=1\\6A+2B_{1}+B_{2}=-6\\12A-4B_{1}+B_{3}=13\\56A-8B_{1}=-4\end{cases}}}
Прибавим к четвертому уравнению первое умноженное на 8:
{
A
+
B
1
=
1
6
A
+
2
B
1
+
B
2
=
−
6
12
A
−
4
B
1
+
B
3
=
13
64
A
=
4
{\displaystyle {\begin{cases}A+B_{1}=1\\6A+2B_{1}+B_{2}=-6\\12A-4B_{1}+B_{3}=13\\64A=4\end{cases}}}
{
B
1
=
15
16
2
B
1
+
B
2
=
−
51
8
−
4
B
1
+
B
3
=
49
4
A
=
1
16
{\displaystyle {\begin{cases}B_{1}={\frac {15}{16}}\\2B_{1}+B_{2}=-{\frac {51}{8}}\\-4B_{1}+B_{3}={\frac {49}{4}}\\A={\frac {1}{16}}\end{cases}}}
{
B
1
=
15
16
B
2
=
−
33
4
B
3
=
16
A
=
1
16
{\displaystyle {\begin{cases}B_{1}={\frac {15}{16}}\\B_{2}=-{\frac {33}{4}}\\B_{3}=16\\A={\frac {1}{16}}\end{cases}}}
x
3
−
6
x
2
+
13
x
−
6
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
3
=
1
16
(
x
−
2
)
+
15
16
(
x
+
2
)
−
33
4
(
x
+
2
)
2
+
16
(
x
+
2
)
3
{\displaystyle {\frac {x^{3}-6x^{2}+13x-6}{(x-2)(x+2)^{3}}}={\frac {1}{16(x-2)}}+{\frac {15}{16(x+2)}}-{\frac {33}{4(x+2)^{2}}}+{\frac {16}{(x+2)^{3}}}}
Тогда:
∫
x
3
−
6
x
2
+
13
x
−
6
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
3
d
x
=
∫
(
1
16
(
x
−
2
)
+
15
16
(
x
+
2
)
−
33
4
(
x
+
2
)
2
+
16
(
x
+
2
)
3
)
d
x
=
{\displaystyle \int {\frac {x^{3}-6x^{2}+13x-6}{(x-2)(x+2)^{3}}}dx=\int \left({\frac {1}{16(x-2)}}+{\frac {15}{16(x+2)}}-{\frac {33}{4(x+2)^{2}}}+{\frac {16}{(x+2)^{3}}}\right)dx=}
=
1
16
⋅
ln
|
x
−
2
|
+
15
16
⋅
ln
|
x
+
2
|
+
33
4
(
x
+
2
)
−
8
(
x
+
2
)
2
+
C
=
{\displaystyle ={\frac {1}{16}}\cdot \ln {|x-2|}+{\frac {15}{16}}\cdot \ln {|x+2|}+{\frac {33}{4(x+2)}}-{\frac {8}{(x+2)^{2}}}+C=}
=
1
16
⋅
ln
|
x
−
2
|
+
15
16
⋅
ln
|
x
+
2
|
+
33
x
+
34
4
(
x
+
2
)
2
+
C
{\displaystyle ={\frac {1}{16}}\cdot \ln {|x-2|}+{\frac {15}{16}}\cdot \ln {|x+2|}+{\frac {33x+34}{4(x+2)^{2}}}+C}
Есть другой способ нахождения коэффициентов
A
,
B
1
,
B
2
,
B
3
{\displaystyle A,\;B_{1},\;B_{2},\;B_{3}}
A
(
x
+
2
)
3
+
B
1
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
2
+
B
2
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
+
B
3
(
x
−
2
)
=
x
3
−
6
x
2
+
13
x
−
6
{\displaystyle A(x+2)^{3}+B_{1}(x-2)(x+2)^{2}+B_{2}(x-2)(x+2)+B_{3}(x-2)=x^{3}-6x^{2}+13x-6}
Не приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
=
−
2
⇒
{\displaystyle x=-2\Rightarrow }
−
4
B
3
=
−
8
−
24
−
26
−
6
{\displaystyle -4B_{3}=-8-24-26-6}
−
4
B
3
=
−
64
{\displaystyle -4B_{3}=-64}
B
3
=
16
{\displaystyle B_{3}=16}
При
x
=
2
⇒
{\displaystyle x=2\Rightarrow }
64
A
=
8
−
24
+
26
−
6
{\displaystyle 64A=8-24+26-6}
64
A
=
4
{\displaystyle 64A=4}
A
=
1
16
{\displaystyle A={\frac {1}{16}}}
Далее полагаем
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
2
{\displaystyle x=2}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle В_1}
и Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle В_2}
.
Вычисления не показываю.
B
1
=
15
16
{\displaystyle B_{1}={\frac {15}{16}}}
B
2
=
−
33
4
{\displaystyle B_{2}=-{\frac {33}{4}}}
