Условие задачи [ править ]
Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции (см. рис.). Плотность воды
ρ
=
1000
{\displaystyle \rho =1000}
кг/м3 , ускорение свободного падения
g
{\displaystyle g}
положить равным 10 м/с2 .
Указание: Давление на глубине
x
{\displaystyle x}
равно
ρ
g
x
{\displaystyle \rho gx}
.
a
=
5
,
4
{\displaystyle a=5{,}4}
м,
b
=
8
,
4
{\displaystyle b=8{,}4}
м,
h
=
3
,
0
{\displaystyle h=3{,}0}
м.
c
=
b
−
2
F
B
;
Δ
F
B
G
{\displaystyle ~c=b-2FB;\Delta FBG\;}
подобен
Δ
E
B
C
⇒
c
=
b
−
x
b
−
a
h
{\displaystyle \;\Delta EBC\Rightarrow c=b-x{\frac {b-a}{h}}}
P
=
ρ
g
x
;
P
=
F
S
;
Δ
S
=
c
⋅
Δ
x
;
F
x
=
ρ
g
x
⋅
c
⋅
Δ
x
⇒
{\displaystyle P=\rho gx;P={\frac {F}{S}};\Delta S=c\cdot \Delta x;F_{x}=\rho gx\cdot c\cdot \Delta x\Rightarrow }
⇒
F
=
∫
0
h
ρ
g
x
⋅
(
b
−
x
b
−
a
h
)
d
x
=
(
ρ
g
b
x
2
2
−
ρ
g
b
−
a
h
⋅
x
3
3
)
|
0
h
=
{\displaystyle \Rightarrow F=\int \limits _{0}^{h}\rho gx\cdot \left(b-x{\frac {b-a}{h}}\right)\;dx=\left(\rho gb{\frac {x^{2}}{2}}-\rho g{\frac {b-a}{h}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}\right){\biggr |}_{0}^{h}=}
=
ρ
g
(
1
2
⋅
b
h
2
−
(
b
−
a
)
⋅
h
2
3
)
=
{\displaystyle =\rho g\left({\frac {1}{2}}\cdot bh^{2}-(b-a)\cdot {\frac {h^{2}}{3}}\right)=}
=
ρ
g
h
2
(
b
2
−
b
−
a
3
)
=
{\displaystyle =\rho gh^{2}\left({\frac {b}{2}}-{\frac {b-a}{3}}\right)=}
=
1000
⋅
10
⋅
3
,
0
2
⋅
(
8
,
4
2
−
8
,
4
−
5
,
4
3
)
=
288000
H
{\displaystyle =1000\cdot 10\cdot 3,0^{2}\cdot \left({\frac {8,4}{2}}-{\frac {8,4-5,4}{3}}\right)=288000\;\mathrm {H} }