Условие задачи [ править ]
Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на
h
{\displaystyle h}
м (см. рис.).
Указание: Уравнение состояния газа
ρ
V
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle \rho V=const}
, где
ρ
{\displaystyle \rho }
– давление,
V
{\displaystyle V}
– объем.
H
=
0
,
4
{\displaystyle H=0{,}4}
м,
h
=
0
,
2
{\displaystyle h=0{,}2}
м,
R
=
0
,
1
{\displaystyle R=0{,}1}
м.
Площадь поршня:
S
=
π
R
2
{\displaystyle ~S=\pi R^{2}}
Объём газа в процессе сжатия:
V
(
x
)
=
S
⋅
(
H
−
x
)
;
0
≤
x
≤
h
{\displaystyle ~V(x)=S\cdot (H-x);0\leq x\leq h}
Давление газа в процессе сжатия:
p
(
x
)
=
p
0
⋅
S
⋅
H
V
(
x
)
{\displaystyle ~p(x)={\frac {p_{0}\cdot S\cdot H}{V(x)}}}
Сила давления на поршень:
F
(
x
)
=
p
(
x
)
⋅
S
{\displaystyle ~F(x)=p(x)\cdot S}
По определению элементарная работа
Δ
A
=
F
(
x
)
Δ
x
⇒
{\displaystyle \Delta A=F(x)\Delta x\Rightarrow }
⇒
d
A
=
p
0
⋅
S
⋅
H
S
⋅
(
H
−
x
)
⋅
S
d
x
=
p
0
⋅
S
⋅
H
H
−
x
d
x
⇒
{\displaystyle \Rightarrow dA={\frac {p_{0}\cdot S\cdot H}{S\cdot (H-x)}}\cdot S\;dx={\frac {p_{0}\cdot S\cdot H}{H-x}}\;dx\Rightarrow }
⇒
A
=
∫
0
h
p
0
⋅
S
⋅
H
H
−
x
d
x
=
−
∫
0
h
p
0
⋅
S
⋅
H
H
−
x
d
(
H
−
x
)
=
−
p
0
⋅
S
⋅
H
⋅
ln
(
H
−
x
)
|
0
h
=
{\displaystyle \Rightarrow A=\int \limits _{0}^{h}{\frac {p_{0}\cdot S\cdot H}{H-x}}\;dx=-\int \limits _{0}^{h}{\frac {p_{0}\cdot S\cdot H}{H-x}}\;d(H-x)=-p_{0}\cdot S\cdot H\cdot \ln(H-x){\biggr |}_{0}^{h}=}
=
p
0
⋅
S
⋅
H
⋅
ln
(
H
H
−
h
)
=
p
0
⋅
π
⋅
R
2
⋅
H
⋅
ln
(
H
H
−
h
)
{\displaystyle =p_{0}\cdot S\cdot H\cdot \ln \left({\frac {H}{H-h}}\right)=p_{0}\cdot \pi \cdot R^{2}\cdot H\cdot \ln \left({\frac {H}{H-h}}\right)}
=
π
⋅
(
0
,
1
[
m
]
)
2
⋅
103
,
3
[
k
P
a
]
⋅
0
,
4
[
m
]
⋅
ln
(
0
,
4
[
m
]
0
,
4
[
m
]
−
0
,
2
[
m
]
)
=
900
[
{\displaystyle =\pi \cdot (0,1[m])^{2}\cdot 103,3[kPa]\cdot 0,4[m]\cdot \ln \left({\frac {0,4[m]}{0,4[m]-0,2[m]}}\right)=900\;[}
кДж
]
{\displaystyle ~]}