Zadacha Kuznecov Integraly 22-18

Условие задачи

Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высоту $H$ км. Масса спутника равна $m$ т, радиус Земли $R_{3}=6380$ км. Ускорение свободного падения $g$ у поверхности Земли положить равным 10 м/с².

$m=4{,}0$ т, $H=550$ км.

Решение

По определению элементарная работа $\Delta A=F(x)\Delta x$, где $F(x)=G\cdot {\frac {m\cdot M}{\left(R_{3}+x\right)^{2}}};G=6,67\cdot 10^{-11}$ Н*м*м / (кг*кг)

$F_{x}=G\cdot {\frac {m\cdot M}{(R_{3}+x)^{2}}}\;-\;$сила притяжения на высоте $x$

$F_{0}=G\cdot {\frac {m\cdot M}{R_{3}^{2}}}=mg\;-\;$сила притяжения на поверхности Земли

$dA={\frac {m\cdot g\cdot R_{3}^{2}}{(R_{3}+x)^{2}}}\;dx\Rightarrow$

$\Rightarrow A=\int \limits _{0}^{H}{\frac {m\cdot g\cdot R_{3}^{2}}{(R_{3}+x)^{2}}}\;d\left(R_{3}+x\right)=-m\cdot g\cdot R_{3}^{2}\cdot {\frac {1}{R_{3}+x}}{\Biggr |}_{0}^{H}=m\cdot g\cdot R_{3}^{2}\cdot \left({\frac {1}{R_{3}}}-{\frac {1}{R_{3}+H}}\right)=$

$~=4\cdot 10^{3}[kg]\cdot 10\;[{\frac {m}{c^{2}}}]\cdot (6380\cdot 10^{3}[m])^{2}\cdot \left({\frac {1}{6380\cdot 10^{3}[m]}}-{\frac {1}{6380\cdot 10^{3}[m]+550\cdot 10^{3}[m]}}\right)=20\,253\,968\,254\;\;[$Дж$~]$