Условие задачи [ править ]
Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высоту
H
{\displaystyle H}
км. Масса спутника равна
m
{\displaystyle m}
т, радиус Земли
R
3
=
6380
{\displaystyle R_{3}=6380}
км. Ускорение свободного падения
g
{\displaystyle g}
у поверхности Земли положить равным 10 м/с2 .
m
=
6
,
0
{\displaystyle m=6{,}0}
т,
H
=
300
{\displaystyle H=300}
км.
По определению элементарная работа
Δ
A
=
F
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle \Delta A=F(x)\Delta x}
, где
F
(
x
)
=
G
⋅
m
⋅
M
(
R
3
+
x
)
2
;
G
=
6
,
67
⋅
10
−
11
{\displaystyle F(x)=G\cdot {\frac {m\cdot M}{\left(R_{3}+x\right)^{2}}};G=6,67\cdot 10^{-11}}
Н*м*м / (кг*кг)
F
x
=
G
⋅
m
⋅
M
(
R
3
+
x
)
2
−
{\displaystyle F_{x}=G\cdot {\frac {m\cdot M}{(R_{3}+x)^{2}}}\;-\;}
сила притяжения на высоте
x
{\displaystyle x}
F
0
=
G
⋅
m
⋅
M
R
3
2
=
m
g
−
{\displaystyle F_{0}=G\cdot {\frac {m\cdot M}{R_{3}^{2}}}=mg\;-\;}
сила притяжения на поверхности Земли
d
A
=
m
⋅
g
⋅
R
3
2
(
R
3
+
x
)
2
d
x
⇒
{\displaystyle dA={\frac {m\cdot g\cdot R_{3}^{2}}{(R_{3}+x)^{2}}}\;dx\Rightarrow }
⇒
A
=
∫
0
H
m
⋅
g
⋅
R
3
2
(
R
3
+
x
)
2
d
(
R
3
+
x
)
=
−
m
⋅
g
⋅
R
3
2
⋅
1
R
3
+
x
|
0
H
=
m
⋅
g
⋅
R
3
2
⋅
(
1
R
3
−
1
R
3
+
H
)
=
{\displaystyle \Rightarrow A=\int \limits _{0}^{H}{\frac {m\cdot g\cdot R_{3}^{2}}{(R_{3}+x)^{2}}}\;d\left(R_{3}+x\right)=-m\cdot g\cdot R_{3}^{2}\cdot {\frac {1}{R_{3}+x}}{\Biggr |}_{0}^{H}=m\cdot g\cdot R_{3}^{2}\cdot \left({\frac {1}{R_{3}}}-{\frac {1}{R_{3}+H}}\right)=}
=
6
⋅
10
3
[
k
g
]
⋅
10
[
M
c
2
]
⋅
(
6380
⋅
10
3
[
m
]
)
2
⋅
(
1
6380
⋅
10
3
[
m
]
−
1
6380
⋅
10
3
[
m
]
+
300
⋅
10
3
[
m
]
)
=
17
191
616
766
[
{\displaystyle ~=6\cdot 10^{3}[kg]\cdot 10\;[{\frac {_{M}}{c^{2}}}]\cdot (6380\cdot 10^{3}[m])^{2}\cdot \left({\frac {1}{6380\cdot 10^{3}[m]}}-{\frac {1}{6380\cdot 10^{3}[m]+300\cdot 10^{3}[m]}}\right)=17\,191\,616\,766\;\;[}
Дж
]
{\displaystyle ~]}