Zadacha Kuznecov Integraly 21-30

Условие задачи

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения $Oy$.

$y=\arccos {x},\;y=\arcsin {x},\;x=0$

Решение

Поскольку ось $~Oy$ является осью вращения, то объём находится по формуле:

$~V=\pi \cdot \int \limits _{a}^{b}x^{2}\;dy$

Найдем пределы интегрирования:

$~y=\arccos {x}\;\Rightarrow \;x=\cos {y}$

$~y=\arcsin {x}\;\Rightarrow \;x=\sin {y}$

$~x=0\;\Rightarrow \;y_{1}=\arcsin {0}=0$

$~\cos {y}=\sin {y}\;\Rightarrow \;y_{2}={\frac {\pi }{4}}$

$~x=0\;\Rightarrow \;y_{3}=\arccos {0}={\frac {\pi }{2}}$

Найдем объём тела, как сумму объёмов двух тел вращения $~y=\arcsin {x};\;0\leq y\leq {\frac {\pi }{4}}$ и $~y=\arccos {x};\;{\frac {\pi }{4}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$

$~V=\pi \cdot \int \limits _{0}^{\pi /4}\cos ^{2}{y}\;dy+\pi \cdot \int \limits _{\pi /4}^{\pi /2}\sin ^{2}{y}\;dy=$

$=\pi \cdot \left({\frac {1}{4}}\sin {2y}+{\frac {1}{2}}y\right){\biggr |}_{0}^{\pi /4}+\pi \cdot \left(-{\frac {1}{4}}\sin {2y}+{\frac {1}{2}}y\right){\biggr |}_{\pi /4}^{\pi /2}=$

$=\pi \left(\left({\frac {1}{4}}\cdot 1+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{4}}\right)-(0+0)\right)+\pi \left(\left(-{\frac {1}{4}}\cdot 0+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\right)-\left(-{\frac {1}{4}}\cdot 1+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{4}}\right)\right)$

$=\pi \left({\frac {1}{4}}+{\frac {\pi }{8}}\right)+\pi \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {\pi }{8}}\right)=$

$={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi ^{2}}{8}}+{\frac {\pi ^{2}}{4}}+{\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{4}}$