Zadacha Kuznecov Integraly 21-3

Условие задачи

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения $Ox$.

$y=3\sin {x},\;y=\sin {x},\;0\leq x\leq \pi$

Решение

Поскольку ось $~Ox$ является осью вращения, то объём находится по формуле:

$~V=\pi \cdot \int \limits _{a}^{b}y^{2}\;dx$

Пределы интегрирования: $~x_{1}=0;x_{2}=\pi$

Найдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:

$~V=\pi \cdot \int \limits _{0}^{\pi }\left(9\sin ^{2}x-\sin ^{2}x\right)\;dx=$

$=8\pi \cdot \int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{2}{x}\;dx=$

$=4\pi \cdot \int \limits _{0}^{\pi }(1-\cos {2x})\;dx=$

$=4\pi \cdot \left(x-{\frac {\sin {2x}}{2}}\right){\Biggr |}_{0}^{\pi }=$

$=4\pi \cdot \left(\pi -0\right)-(0-0)=4\pi ^{2}$