Zadacha Kuznecov Integraly 21-16

Условие задачи

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения $Ox$.

$y=\sin {\frac {\pi x}{2}},\;y=x^{2}$

Решение

Поскольку $Ox$ является осью вращения, то обьём находится по формуле:

$V=\pi \int _{a}^{b}y^{2}dx$

Найдём пределы интегрирования:

$y=x^{2}\sin({\frac {\pi x}{2}})\Rightarrow x_{1}=0;x_{2}=1$

Найдём объём тела, как разность обьёмов двух тел вращения:

$V=\pi \int _{0}^{1}\sin ^{2}({\frac {\pi x}{2}})dx-\pi \int _{0}^{1}(x^{2})^{2}dx=$

$=\pi \int _{0}^{1}{\Bigl [}\sin ^{2}({\frac {\pi x}{2}})-x^{4}{\Bigl ]}dx=$

$=\pi \int _{0}^{1}{\Bigl [}{\frac {1-\cos(\pi x)}{2}}-x^{4}{\Bigl ]}dx=$

$=\pi {\Bigl (}{\frac {x}{2}}-{\frac {\sin(\pi x)}{2\pi }}-{\frac {x^{5}}{2}}{\Bigl )}{\Bigr |}_{0}^{1}=0,3\pi$

Ответ: $V=0,3\pi$