Zadacha Kuznecov Integraly 20-15

Условие задачи

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{9}}+{\frac {z^{2}}{36}}=1,\;z=3,\;z=0$

Решение

В сечении данной фигуры плоскостью $z=const$ находится эллипс:

${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{9}}={\frac {36-z^{2}}{36}}$

${\frac {x^{2}}{16\cdot {\frac {36-z^{2}}{36}}}}+{\frac {y^{2}}{9\cdot {\frac {36-z^{2}}{36}}}}=1\;\rightarrow \;a={\frac {4}{9}}{\sqrt {36-z^{2}}};\;b={\frac {1}{4}}{\sqrt {36-z^{2}}}$

$\Rightarrow S=\pi ab=\pi \cdot {\frac {4}{9}}{\sqrt {36-z^{2}}}\cdot {\frac {1}{4}}{\sqrt {36-z^{2}}}={\frac {\pi }{9}}\cdot (36-z^{2})$

$V=\int \limits _{0}^{3}S(z)\;dz={\frac {\pi }{9}}\int \limits _{0}^{3}(36-z^{2})\;dz={\frac {\pi }{9}}\left(36z-{\frac {z^{3}}{3}}\right){\Biggr |}_{0}^{3}=$

$={\frac {\pi }{9}}\left(36\cdot 3-{\frac {3^{3}}{3}}-36\cdot 0+{\frac {0^{3}}{3}}\right)={\frac {\pi }{9}}(108-9)={\frac {99\cdot \pi }{9}}=11\pi$