Zadacha Kuznecov Integraly 19-21

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

\rho = 2\varphi,\; 0 \le \varphi \le \frac{5}{12}

Решение[править]

Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулой

L=\int\limits_{\varphi_0}^{\varphi_1}\sqrt{(\rho(\varphi))^2+(\rho'(\varphi))^2}d\varphi

Для кривой, заданной уравнением \rho = 2\varphi, найдем: \rho' = 2


Получаем:

\begin{align}
L &  =   \int\limits_{0}^{5/12} \sqrt{\left(2\varphi\right)^2 + 2^2}d\varphi = \\ & =
       2 \int\limits_{0}^{5/12} \sqrt{\varphi^2+1}\;d\varphi = ^{(1)} \\ & =
       2 \left( \frac{\varphi}{2}\sqrt{\varphi^2+1}\biggr|_{0}^{5/12} + 
                \frac{1}{2} \ln\left|\varphi + \sqrt{\varphi^2+1} \right|\biggr|_{0}^{5/12} \right) = \\ & =
       2 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{12} \sqrt{\frac{25}{144}+1} - 0 \right)
     + 2 \left( \frac{1}{2} \ln\left|\frac{5}{12} + \sqrt{\frac{25}{144}+1}\right|-\ln\left|0 + \sqrt{0+1}\right| \right) = \\ & =
                \frac{5}{12} \cdot \sqrt{\frac{169}{144}}
     + 2 \left( \frac{1}{2} \ln\left|\frac{5}{12} + \sqrt{\frac{169}{144}}\right| - 0 \right) = \\ & =
                \frac{5}{12} \cdot \frac{13}{12} + \ln\left|\frac{5}{12} + \frac{13}{12}\right| = 
                \frac{65}{144} + \ln \frac{3}{2}
\end{align}



В (1) мы использовали формулу: \int \sqrt{x^2+a^2}\;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|